Geordnete Mengen. 9—19. 
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16. Definiti on: Eine linear geordnete Menge heißt „dicht“, wenn 
(eigentlich) zwischen je zwei ungleichen Dingen der Menge ein Ding 
der Menge liegt. 
17. Definiti on: Eine Teilmenge m einer linear geordneten 
Menge M heißt „relativ dicht“*), wenn (eigentlich) zwischen je zwei 
ungleichen Dingen der Menge M ein Ding der Menge m liegt. 
Folgerungen: 1) Eine relativ dichte Teilmenge ist (absolut) 
dicht, aber im allgemeinen nicht umgekehrt. 
2) Eine relativ dichte Teilmenge einer linear geordneten Menge 
besteht aus mindestens drei verschiedenen Dingen, ist also (14) eine 
linear geordnete Menge. Denn ist die Teilmenge uneigentlich, so ist 
der Satz evident; ist sie eigentlich und a vor b Dinge der Menge, 
so existieren die Dinge a t ß, y der Teilmenge so, daß a zwischen a 
und b, ß zwischen a und b, y zwischen ß und b; also a vor a vor ß 
vor y vor b, cc =4= ß =f= 7 4= a - 
18. Satz: In einer linear geordneten dichten Menge wird jedes 
Ding durch seine Ordnungsbeziehungen zu sämtlichen Dingen einer 
relativ dichten Teilmenge der Menge eindeutig bestimmt. 
Beweis: Zwei ungleiche Dinge a, b der Menge können nicht in 
den Ordnungsbeziehungen zu allen Dingen der Teilmenge überein 
stimmen; denn liegt z (eigentlich) zwischen a und b, so ist entweder: 
a vor z, b nach z, oder es ist: a nach z, b vor z. 
19. Definition: Eine linear geordnete Menge heißt „stetig“, 
wenn jedem mit 10 verträglichen System von nicht lauter gleich 
artigen**) Ordnungsbeziehungen eines Dinges zu allen Dingen einer 
Teilmenge wenigstens ein Ding x der Menge entspricht.***) 
Folgerung: Eine linear geordnete stetige Menge ist dicht; denn 
*) „Pantachisch“ bei P. Du Bois-lteymond, Die allgemeine Funktionen 
theorie. Erster Teil, Tübingen 1882, p. 182. 
**) x vor a, nach b sind ungleichartig, x vor a, vor b gleichartig. 
***) Diese Stetigkeit ist verschieden von derjenigen Dedekinds (vgl. 
R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig 1892. Was sind 
und was sollen die Zahlen? Braunschweig 1903), welche die Meßbarkeit mit um 
faßt (vgl. 0. Holder, Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Maß, Leipz. 
Ber. Math. phys. Kl. 1901 p. 10), aber nicht, wie Schönflies meint (vgl. A. Schön 
flies, Transfinite Zahlen, das Axiom des Archimedes und die projektive Geometi’ie. 
Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung Bd. V (1897) p. 76 oben), 
mit ihr äquivalent ist. Dagegen stimmt die obige Definition der Stetigkeit 
sachlich mit der von Veronese gegebenen überein (vgl. G. Veronese, Atti d. 
B. Acc. d. Lincei, ser. 4, memoire d cl. d. sc. f. vol. 6, 1889, p. 612 Prine. IV.), 
ist aber in der Fonn einfacher, was für ihre Ausdehnung auf planare und über 
planare Mengen (s. u.) wesentlich ist.