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Y. Metrische Geometrie. 
27. Satz: Jeder Winkel AOB hat genau eine Mittelgerade 
(Halbgerade) OM], so daß AOM = MOB ist. 
Beweis: Sind OA = OB gleiche Strecken auf den Schenkeln 
des Winkels, M der Mittelpunkt von AB, so ist i OAB= OBA, also 
OAMy OBM, also LAOM=BOM, und OM] eindeutig bestimmt; 
denn wäre auch iAOM' — BOM', M' auf [AB], dann wäre AOM' 
y BOM', also AM' = BM', also (24) M' = M. 
28. Satz: Ist [OB] _L [OP] _L[0 A] und liegen OABC in einer 
Ebene, dann ist auch [0P]_L[00]; und umgekehrt: ist auch [OP]_L 
[OG], dann sind OABC in einer Ebene. 
Beweis: Man kann A, B, C in einer Geraden annehmen. Macht man 
PO = OP', nicht inzident, auf einer Geraden, so ist OPAy OP'A, 
also PA = P'A, ebenso PB=P'B, also (22) PAByP'AB, LP AB = 
P'AB, also (13) PAC-P'AC, also P0=P'0, also (22) POCyP'OC, 
also LBOC=P'OC= einem Rechten. — Umgekehrt, ist E= { GAB], 
05 = [{OMP} { OPC}], so ist nach obigem 05 _L [OP] und nach Vor 
aussetzung [00]_L[0P], also (20) 05 = [OC], d. h. [OG] in {OAB}. 
29. Definition: Eine Gerade [OP] heißt senkrecht auf einer 
Ebene E = { OAB), wenn | OA| _L [OP] __L [OB] ist. 
30. Satz: Durch jeden Punkt auf einer gegebenen Geraden resp. 
Ebene geht genau eine, durch jeden anderen Punkt mindestens eine 
zu der gegebenen Geraden oder Ebene senkrechte Ebene resp. Gerade. 
Beweis: Durch 0 auf 05 sei [OP] _L 05 und in einer anderen 
Ebene [OQ] J_ 05; dann ist {OPQ} _L 05. Gibt es durch O eine 
zweite Ebene E _L 05, und schneidet irgend eine Ebene A von 05 die 
Ebenen {OPQ} und E in so ist §_L05also (20) 
also E= {OP^}. — Auf | OA] errichte man in O senkrecht die Ebene 
A, auf [ OB\ in O senkrecht die Ebene B ? dann ist 05 = [AB]_L{ OAB) 
in O. Gäbe es in O auf { OAB) eine zweite senkrechte fe, dann wäre 
in (05^)} sowohl 05 als ¿p senkrecht auf [{05,Sp} {OAB}], also (20) 
05 = §. — Von P, nicht auf 05, ziehe man [PO] _L 05, durch O auf 05 
lege man E _L 05; E geht durch P, wegen 28. — Durch P nicht in 
{ABC] lege man [BQ] _L [AB], durch Q auf [AB] ziehe man in 
{ABC} das Lot [OQ]±[AB], von P fälle man das Lot [PO] auf 
[OQ], dann ist [PO]_L {ABCj; denn sei O Mittelpunkt von PP', also 
OPQyOP'Q, also PQ=*P' Q, LAQP'= AQP^AQO= 1 Rechter, 
also AQPyAQP', BQPyBQP', also 4P-iP', BP = BP', 
also AOPyAOP', BOPyBOP', also AOP und BOP Rechte. 
31. Satz: Sind A, B zwei Ebenen einer Geraden [AB], und 
E _L | A B | JL E”, so sind die Winkel der Geraden [EA], [EB] und der 
Geraden [E'A], [E'B] einander gleich.