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V. Metrische Geometrie 
51. Sat z: Schneiden sich die Geraden [ABC] = % und [A'B'C'] = (&', 
so liegen 
([AB'][A'B]), ([AC'][A'C]), ([BC'][B'C]) 
auf einer Geraden. 
Beweis: Ist ((55(55') = 0, OP = OP', P auf <55, P' auf (55', M 
Mittelpunkt von PP', und geht Z durch [OM] und ist senkrecht 
{(55 (55'}, so sind (55 und (55' Spiegelbilder in bezug auf Z. Es sei § in 
Z, nicht senkrecht {(55 (55'}, Z x = {¡qA}, Z 2 ={^B}, Z 3 = {^C), 
Z x ' = {OqA' }, Z 2 ' = {¡qB'}, Z 3 ' = {¡qC' }, ferner seien (55, (55/ Spiegel 
bilder in bezug auf Z h , und (55', (55 h Spiegelbilder in bezug auf Z,', 
also ((55(55/) = A, ((55(55/) = B, ((55 (55 3 ') = G, ((55'(55/ = Ä, (<55'<5J 8 ) = B', 
(©'(55g) = G'. Die Spiegelungen an Z h , Z, Z k ' setzen sich (50) zu einer 
zusammen, in welcher (55/ und (55 Ä Spiegelbilder sind, sich also schneiden. 
Damit ist nach den Bemerkungen in 49 der Beweis vollendet. 
Die Winkelsumme im Dreieck. 
52. Satz: Ist in einem Dreieck ABC die Winkelsumme gleich 
2 Rechten, dann zerfällt es durch eine „Höhe“ [AD] Jl [BC] in zwei recht- 
. winklige Dreiecke mit der- 
^ selben Eigenschaft (s. Fig.). 
Beweis: Man mache 
F 
EA = DB, FA = DC; so 
ist FAB- DBA, FAC~ 
DCA, also LFCA=DAC, 
D FAE= 2Rechten, FE = 
FA + AE= CD + DB = 
C 
D 
CB, FC=AD = FB, also weiter FFB~FCB, LFCB=l Rechten, 
also in ACD: Winkelsumme = 2 Rechten, ebenso in ABD. 
A 
53. Satz: Ist in einem Dreieck die Winkel 
summe gleich zwei Rechten, dann in jedem. 
I 
° = DB, DF = BF), ABFRAGE (¡_A = LB, 
Beweis: Es genügt nach 52, diesen Satz 
für rechtwinklige Dreiecke ABC und A i BE zu 
beweisen (s. Fig.). Ist in ABC die Winkelsumme 
2 Rechte, so wird bewiesen, das dasselbe iürABE, 
also ebenso für A ± BE stattfindet. Es sei nun 
mehr (s. Fig. S. 253) ABC^CDA, also ABCD 
ein „Rechteck“, und es sei AH = BF = DF 
= AG, so ist EDB^DBF (L D = L B, BD 
B 
JE