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I. Grundlagen der Arithmetik. 
sind a vor b zwei Dinge der Menge, so existieren Dinge x, die den 
Ordnungsbeziehungen a vor x vor b genügen. 
20. Definition: Eine aus mindestens vier verschiedenen Dingen 
bestehende Menge heißt „planar geordnet“, wenn erstens durch je 
zwei verschiedene Dinge, z. B. b, c, von ihr eine diese enthaltende linear 
geordnete Teilmenge (b, c) =j= (c, b)*) der Menge eindeutig bestimmt 
wird, und wenn zweitens zwischen jeder Teilmenge (b, c) und jedem ihr 
nicht zugehörigen Dinge a eine und nur eine der beiden Ordnungs 
beziehungen: 
a „rechts“ (b, c) oder a „links“ (b, c) 
und für diese der Grundsatz 21 besteht. 
21. G rundsatz: Aus x rechts («, b), nicht links**) (b, c), nicht 
links (c, a) folgt: a rechts (b, c), b rechts (c, d), c rechts (a, b). Eben 
so bei Vertauschung von „rechts“ mit „links“. 
22. Satz: Aus a rechts (b, c) folgt a links (c, b) und b rechts 
(a } c), c rechts (a, b). 
Beweis: Sei (b,'c) = (d, c) = (d,b), d 4= b 4= c; a rechts (6, c), 
nicht links (c,d), nicht links (d,b) gäbe (21): d rechts (b,c), gegen 
20. Ferner folgt aus 21 für x = c (z. B.): Aus c rechts («, b) folgt 
a rechts (b, c), b rechts (c, d). 
23. Defijiition: Ist a rechts (b, c) und x nicht links (b, c), nicht 
links (c, d), nicht links («, V), so heißt x „zwischen“ (a, b, c) oder 
zwischen (a, c, &); und zwar „uneigentlich“, wenn x zur Teilmenge 
(ci, b) oder (b, c) oder (c y a) gehört, sonst „eigentlich“. 
Folgerungen: 1) Aus x zwischen (a,b,c), d nicht auf (a, x), 
zwischen (b, c) folgt entweder x zwischen (a, b, d), oder zwischen 
(a, d, c). Dies ist evident für x auf (a, b) oder (c, d) oder (b, c) 
(12 Folgerung 1). Also sei z. B. x rechts (a, &), (b, c), (c, a), rechts 
(a, rf), dann ist a? rechts (a, d), rechts (d, c) = (b, c), rechts (c, a). 
Ist aber x links (a, í¿), dann ist ir rechts (a, 6), rechts (b, rf) = (fr, c), 
rechts ((/, «). 
2) Aus a rechts (a?, y), b nicht links (x, y), c eigentlich zwischen 
(a, b) folgt c rechts (x, y). Denn ist im speziellen Fall b auf (x, y), 
und erstens (x, b) = (x, y), so folgt aus a rechts (xy), a rechts (xb), 
x links (ab) = (cb), c rechts (xb) = (xy). Ist zweitens (xb) = (yx), 
*) d. h. die Teilmengen (ft, c), (c, b) bestehen zwar aus denselben Dingen, 
sollen aber als dem ,,Sinne“ nach verschieden angesehen werden. Zwei Teil 
mengen (&, c), (b x , c,) sind daher identisch, wenn erstens b x , c, Dinge von (6, c) 
sind und zweitens mit b vor (nach) c zugleich b x vor (nach) c, ist. 
**) d. h. „rechts“ oder „auf“ (= zugehörig zu).