Geordnete Mengen. 20—28. 
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so folgt aus a rechts (xy), a links (xb), x rechts (ab) = (cb), c links 
(xb) = (yx), c rechts (x, y). — Im allgemeinen Pall folgt aus a rechts 
(xy), b rechts (xy), daß y nicht zwischen (x, a, b), also nicht zwischen 
(x, a, c) oder (x, c, b) liegt. Demnach kann weder mit y links 
(ab) = (ac), noch mit y nicht rechts (ba) = (bc) zusammen y nicht 
links (xc) sein, da sonst im ersten Pall y zwischen (xac), im zweiten 
y zwischen (xcb) wäre. 
24. Satz: Sind a, b, c, d vier Dinge einer planar geordneten 
Menge, deren keine drei einer linear geordneten Teilmenge angehören, 
so liegt von den vier Dingen entweder eins oder keins zwischen den 
drei andern. 
Beweis: Ist z. B. d zwischen (a,b,c), also 
d rechts (a,b), rechts (b, c), rechts (c,a), 
so folgt (nach 21) 
a rechts (b, c), links (c, d), links (<d, b), 
also a nicht zwischen (b, c, d)- ebenso b nicht zwischen (c, d, a), c nicht 
zwischen (d, a, b). 
Ist a rechts 
(P, c ), 
rechts (c, d) y rechts 
(b,ä), 
& „ 
(c, d), 
(d, a), „ 
fe«)» 
(d, a), 
yy 
(a, b), „ 
(<*. V), 
d „ 
(a, b), 
(Jb c), „ 
(n, c), 
was nach 21 möglich ist, i 
30 ist 
keins der vier 
Dinge zwischen den 
drei andern. 
25. Satz: Eine aus mindestens vier, nicht einer linear geordneten 
Teilmenge allgehörenden Dingen bestehende Teilmenge einer planar 
geordneten Menge ist eine planar geordnete Menge. 
Beweis wie zu 14. 
26. Definition: Eine Menge heißt „sphärisch geordnet“, wenn 
aus ihr durch Vielfachzählung eines Dinges a, als a a , a^, a y , . . ., 
wo die a, ß, y, . . . Dinge eine linear geordnete Menge bilden, eine 
planar geordnete Menge entsteht, in der für jedes Ding b stets 
b rechts (a a , a, y ), wenn a vor ß. 
27. Definition: Eine planar geordnete Menge heißt „dicht“, 
wenn zwischen je dreien, nicht einer linear geordneten Teilmenge an 
gehörenden Dingen der Menge ein Ding der Menge liegt. 
28. Definition: Eine Teilmenge m einer planar geordneten 
Menge heißt „relativ dicht“, Avenn zwischen je drei, nicht einer linear