Für den Fall, daß die Dreieckswinkelsumme nicht größer als zwei 
Rechte ist, kann der Satz einfacher so bewiesen werden: es sei (s. Fig. 
S. 263) CA' = CA und inzident CB, ebenso CB' = CB und inzident 
CA- dann ist die Winkelsumme im Viereck AA'BB' gleich 2ÄBB' 
-\-2B'AA' nicht größer als vier Rechte, also CAÄ <CBBda ferner 
CB' = CB < CA und CA' = CA > CB, also CBB' < CBA und 
CAB < CAÄ ist, so folgt CAB < CAA' < CBA, also CAB<C 
CBA, was zu beweisen war. 
70. Satz: In jedem Dreieck ABC ist die Summe zweier Seiten 
AC A BC größer als die dritte AB, wenn als dritte Seite AB die 
kürzere der beiden Strecken AB genommen wird. 
Beweis: Es sei (s. Fig.) CB 
— CB und auf [CA], aber nicht 
inzident CA- dann ist ABB = 
CBB < ABB, also AB > AB, 
d. h. AC A BC > A B 
Zusatz: Es gilt stets der Satz 
AC A HC =(= AB, wenn A, B, C 
nicht in einer Geraden liegen. Denn 
"" ^ ist AC = AB, B auf AB, so daß 
BC=BB, so folgt: ACB=ACBABCB=ABCABBC=2Rechte, 
d. h. ACB in einer Geraden. 
71. Satz: Gilt ohne Einschränkung der Satz: die gerade Ver 
bindungslinie ist kürzer als jede aus Strecken zusammengesetzte Ver 
bindung zweier Punkte, so sind uneigentliche Punkte vorhanden. 
Beweis folgt unmittelbar aus 70. 
72. Satz: Gilt der Satz von der geraden Linie als kürzester un 
eingeschränkt und besteht Meßbarkeit, so ist die Winkelsumme nicht 
größer als zwei Rechte. 
Beweis folgt unmittelbar aus 71 und 67. Legendre bewies den 
Satz folgendermaßen: Es sei (s. Fig.) in den Dreiecken ABA, ^ 
A 1 B 1 A 2 ~ A 2 B 2 A s ~ • • • die Winkelsumme größer als zwei Rechte;