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V. Metrische Geometrie. 
73. Satz: Es gibt Geometrieen, in denen alle Verknüpfungs-, 
Anordnungs- und Kongruenzsätze mit Ausnahme von 11 gelten und 
in denen die gerade Linie die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist, 
und zwar für jeden der drei Fälle, daß auf jeder Geraden kein, ein 
oder mehr als ein uneigentlicher Punkt liegt, und in letzterem Fall 
für jeden der drei Fälle, daß die Winkelsumme im Dreieck größer, 
gleich oder kleiner als zwei Rechte ist. 
Beweis: Für den Fall, daß auf jeder Geraden mehr uneigent 
liche Punkte liegen, ist eine solche Geometrie von Hilbert*) kon 
struiert worden. Es sei (s. Fig.) in der Euklidischen Ebene eine 
geschlossene überall 
konvexe Kurve ge 
geben, die als Grenz 
oval genommen 
werde. Die Punkte 
im Innern sollen die 
eigentlichen sein. Als 
Strecke AB werde 
der Logarithmus des 
Wurfes ABIJ defi 
niert, wo IJ die 
Schnittpunkte von 
\AB\ mit dem Grenz 
oval sind. Dann gelten offenbar alle Sätze, die sich auf das Abtragen, 
Vergleichen und Addieren von Strecken beziehen. Damit auch dieselben 
Sätze bezüglich der Winkel gelten, braucht man nur (z. B.) festzusetzen, 
daß Winkel gleich heißen sollen, wenn sie es im gewöhnlichen Sinne 
des Wortes sind. Der Grundsatz 11 gilt im allgemeinen nicht, denn 
gälte er, so gäbe es Affinitäten, also (s. IV 150 S. 221) wäre das Grenz 
oval eine Kurve zweiter Ordnung, was ausgeschlossen wird. Der Satz 
von der Geraden als kürzester gilt. Denn nach einem bekannten Satze 
(dem Satz des Ceva in projektiver Form) ist das Produkt der drei 
Würfe, welche zwei Transversalen \A'B'C'\, [.A"B"G"] eines Drei 
ecks ABC auf dessen Seiten bestimmen, der Einheit gleich, also 
C'A 
CA 
(B- 
A 
. #A\ 
¡AB 
A" B\ 
C'B : 
; C'B ~ 
' \ B" 
C ' 
' B' 67 ' 
' \AC ' 
A"c) 
woraus vermittelst 
C"A JA C'A IA 
C'B < JB 7 C'B > IB 
A' 
*) Math. Ami. 40 (1895) p. 91; Grundlagen der Geometrie 2. Aufl. p. 83.