Art. 73. 
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durch Logarithmieren 
AB< AC+BC 
folgt. 
Für den Euklidischen Fall, daß auf jeder Geraden genau ein un 
eigentlicher Punkt liegt, ist eine Geometrie der verlangten Art die von 
Minkowski*) seiner Geometrie der Zahlen zugrunde gelegte. In der 
Euklidischen Ebene werde eine geschlossene, überall konvexe Kurve 
mit Mittelpunkt 0 als „Eichoval“ genommen. Zwei Strecken 
heißen gleich, wenn sie durch Parallel Verschiebung auseinander her 
vorgehen; ferner heißen zwei „Radien“ Ol, OJ des Eichovals ein 
ander gleich; schließlich heißen zwei Strecken OA auf Ol, und OB 
auf OJ einander gleich, wenn \AB\ [1J] ist. Winkel heißen gleich, 
wenn sie es im gewöhnlichen Sinne des Wortes sind. Offenbar gelten 
alle Kongruenzgrundsätze mit Ausnahme des Satzes 11. Denn gälte 
dieser Satz, so seien (s. Fig.) K, I, J Punkte des Eichovals, I, 0, J 
in einer Geraden; dann folgt KOI~ 
IOK, KOJ~ JOK, also OIK = 
OKI, OJK = OKJ, also IKJ = 
JIK + IJK, also, da hier die Drei 
eckswinkelsumme zwei Rechte be 
trägt, IKJ=1 Rechter. Nach dem Satz 
des Thaies (65) wäre also das Eichoval 
ein Kreis, was ausgeschlossen, werden 
konnte. Dagegen gilt der Satz von 
der Geraden als kürzester. Um das 
zu beweisen, definiere man als Eich 
oval mit dem Mittelpunkt A und dem 
Radius AC die Gesamtheit des Punkte P, für welche AP— AC ist. 
Zwei Eichovale, eins um A und durch P, ein andres um B und durch 
Q, haben einen äußeren und einen inneren Ähnlichkeitspunkt. Sind 
nämlich AP BQ und AP BQ' parallele Radien der beiden Eich 
ovale, so ist z. B. ([AB][PQ]\ der äußere, und ([AB] [PQ']) = M 
zwischen A und B der innere Ähnlichkeitspunkt. Haben die beiden 
Ovale einen Schnittpunkt C und ist CB die Sehne des zweiten Ovals, 
welche durch M geht, so liegt M auch zwischen C und B, also im 
Innern des zweiten, ebenso des ersten Ovals; also ist 
AB = AM + MB < AC -f CB, 
was zu beweisen war. 
K 
’’) Geometrie der Zahlen, Leipzig 1896.