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V. Metrische Geometrie. 
Für den dritten Fall, in welchem keine uneigentlichen Punkte 
existieren, konstruiert man eine Geometrie von der verlangten Be 
schaffenheit wie folgt. In einer Euklidischen Ebene, deren Punkte 
alle eigentlich heißen mögen, werde Winkelgleichheit im gewöhnlichen 
Sinne verstanden, Strecken sollen dagegen gleich heißen, wenn sie von 
einem bestimmten Punkte 0 außerhalb der Ebene aus unter gleichen 
Winkeln gesehen werden. Dann gelten offenbar alle Kongruenzgrund 
sätze mit Ausnahme von 11, da kongruente Dreiecke einer Kugel um 
0 von 0 aus im allgemeinen nicht in ähnliche Dreiecke einer Ebene 
projiziert werden. Der Satz von der Geraden als kürzester gilt, mit der 
in 58 bemerkten Einschränkung, da er auf der Kugeloberfläche gilt. 
74. In bezug auf das Abtragen von Strecken ist eine Geometrie 
vollkommen durch die Beschaffenheit der zu jedem Punkte gehörigen 
Eichovale charakterisiert. Jedes Eichoval ist, wenn man an der ein 
deutigen Möglichkeit des Streckenabtragens festhält, so beschaffen, 
daß es jede Gerade seines 
Mittelpunktes in genau zwei 
Punkten schneidet. Zwei 
Radien AB, AB' eines Eich 
ovals heißen gleich; zwei 
Strecken AB, CB heißen 
gleich, wenn sie bzw. AB', 
CD' gleich und ABA CB' 
gleiche Strecken einer Ge 
raden [MG] sind, d. h. wenn 
(z. B.) AC, B'D' denselben 
Mittelpunkt haben. Die Exi 
stenz eines Mittelpunktes ergibt sich aus Stetigkeitsbetrachtungen. 
Damit der Satz von der Geraden als kürzester gilt, ist offenbar not 
wendig und hinreichend, daß erstens die Zentrale zweier sich schnei 
denden Eichovale durch das innerhalb beider liegende Ebenenstück 
hindurchgeht, und daß zweitens beiderseits 
derselben nur je ein Schnittpunkt liegt. Wäre 
die erste Bedingung nicht erfüllt, so wäre 
(s. die erste Fig.) z. B. 
AC + CB = AD + EB = AB- BE < AB. 
Wäre die zweite Bedingung nicht erfüllt, so wäre z. B. (s. die zweite 
Fig.) E zwischen B, C und B zwischen A, E, also: 
AC+ CB = AD + DB<AB + DE + EB, 
<AE + EB<AC+CE+EB, <AC+CB.