Art. 74—76. 
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Sind beide Bedingungen erfüllt, so gilt offenbar der Satz von der 
Geraden als kürzester. 
Im Euklidischen Fall, wo auf jeder Geraden genau ein uneigent 
licher Punkt liegt und die Eichovale einen Mittelpunkt haben, alle 
einander ähnlich und ähnlichliegend 
werden, ist die Bedingung dann und 
nur dann erfüllt, wenn dieselben überall 
konvex sind; denn andernfalls existieren 
(s. Fig.) Paare von Eichovalen mit 
mehr als zwei Schnittpunkten. 
Im Falle, daß auf jeder Geraden 
mehr als ein uneigentlicher Punkt 
liegt, ist die Bedingung erfüllt, wenn 
das Grenzoval überall konvex ist, wie 
der oben (71) gegebene Beweis er 
kennen läßt. Demnach ist in diesem 
Falle der Satz von der Geraden als 
kürzester dem Anordnungsgrundsatz 
der uneigentlichen Punkte gleichbe 
deutend, daß zwei eigentliche und zwei uneigentliche Punkte einer 
Geraden sich nicht trennen. Verlangt man nur, daß es keine kürzere 
Verbindungslinie zweier Punkte gibt als die Gerade, so ergibt sich 
ebenso, daß das Grenzoval nur nirgend konkav sein darf, wohl aber 
geradlinige Grenzstücke vorhanden sein können. 
Alle Geometrien, in denen die Geraden die kürzesten sind, hat 
Hamei*) analytisch charakterisiert. 
Polarentheorie. 
75. Satz: In einer Ebene gehen alle Lote einer (eigentlichen) 
Geraden durch einen (eigentlichen oder uneigentlichen) Punkt, ihren 
Lotschnittpunkt. 
Beweis s. den ersten Teil des Beweises von 38, der auch gilt, 
wenn der Lotschnittpunkt P uneigentlich ist. 
76. Satz: In einer Ebene liegen die Lotschnittpunkte aller Ge 
raden eines (eigentlichen) Punktes auf einer (eigentlichen oder un 
eigentlichen) Geraden, seiner Fußpunktgeraden. 
Beweis: Es seien (s. die erste Fig. S. 270) [OM], [OMJ, [OM 2 ] 
drei Geraden eines Punktes 0; man mache OA — OA x = 0M 2 , 
*) Inaug.-Diss. Gottingen 1901 und Math. Ann. 57 (1903) p. 231.