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V. Metrische Geometrie. 
Im zweiten und dritten Fall gibt es Punkte, die in ihren Polarebenen 
liegen, da die Gleichungen: 
/y» 2 i /y* 2 t /vi 2 I /v> 2 — A 
tX/Q I <A;-^ I «Xg iXg Vy 
durch reelle Werte von # 0 , # 2 , x z erfüllt werden können. Da 
dies bei eigentlichen Elementen niemals stattfindet, müssen in diesen 
beiden Fällen uneigentliche Elemente existieren. 
Aber der Fall der Gleichung: 
o 
- oo 0 y 0 + x 1 y i - x 2 y, + X 3 y :i = 0 
ist auszuschließen, da in ihm der Satz nicht mehr allgemein gilt, daß 
AC -j- CB =|= AB ist, wenn A, B, C nicht in einer Geraden liegen 
(s. 88). 
82. Definiti on: Ein derartiges Entsprechen zwischen den eigent 
lichen Punkten des Raumes, daß jedem Punkt genau ein Punkt und 
jeder Strecke eine gleiche Strecke entspricht, heißt eine Kongruenz. 
83. Satz: Es gibt Kongruenzen. 
Beweis: Man setze entsprechend dem eigentlichen Punkte A 
einen beliebigen eigentlichen Punkt Ä, dann einem eigentlichen Punkte 
B einen Punkt B', so daß A B' = AB, also B' eigentlich ist; dann 
jedem eigentlichen Punkte C 1} . . . yon [AB] einen 'Punkt C/, . . . 
von [A'B'\, so daß AC ± = AC/, usw., was nach 33 möglich ist; 
alsdann einem eigentlichen Punkte C, für den [(76)] _L [AB ] ist, 
einen Punkt C', für den [C'C/] _L [A' B'] und CC/ = CC 1 ist; als 
dann jedem eigentlichen Punkte D x , ... yon {ABC} einen Punkt 
D/ yon {A'B'C'}, so daß AB i = A'D/, usw., was nach 34 mög 
lich ist; alsdann jedem eigentlichen Punkte D, . . . für den [1)1)/ _L 
{ABC} einen Punkt D', für den [D'D/\ _L {A'B'C'} und DD/ 
= DD t ist, und so, daß z. B. ABCDE ^ ÁB'CD'E' ist, was nach 
35 möglich ist. Dann entsprechen allen eigentlichen Punkten wieder 
eigentliche Punkte und alle entsprechenden Strecken sind gleich. 
84. Satz: In jeder Kongruenz entsprechen drei eigentlichen 
Punkten einer Geraden drei eigentliche Punkte einer Geraden. 
Beweis: Sind A, B, C drei Punkte in einer Geraden und .4) 
B', C' die ihnen entsprechenden, also AB=A B', AC=A'C', 
BC = B'C', so folgt aus (z. B.) 
AB+ BC= AC, 
daß auch 
A'B' + B'C' = ÄC' 
ist; lägen A', B', C nicht in einer Geraden, so wäre stets: