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Y. Metrische Geometrie. 
V + 1 = V + 1 = h 4 + 4 4 = 0 
genügen. 
Die Transformation 
zy* ¡1 /y» 
• *^0 II ^0 
a? 2 1! —'^2 
^3 !! 
ist offenbar eine Kongruenz. In derselben entspricht jeder Punkt der 
Ebene x 3 = 0 sich selbst. Ist also PQ das von einem beliebigen 
Punkte auf diese Ebene gefällte Lot, so entspricht Q sich selbst, also 
P einem Punkte P', so daß P'Q=PQ und senkrecht zur Ebene 
x 3 = 0 ist. Diese Kongruenz ist also eine Spiegelung an dieser Ebene. 
Sie kann auch durch % 
x — x 
repräsentiert werden. 
91. Eine Kongruenz, in welcher der Punkt H 3 (:r 0 = 0, x x = 0, 
x 2 = 0) sich selbst entspricht, werde bestimmt durch Angabe zweier 
sich in ihr entsprechenden Halbgeradenpaare ©, § und ©', $>' von A 3 . 
Die Ebenen, in bezug auf welche © und ©', resp. $ und <£)' Spiegel 
bilder voneinander sind, mögen sich in einer Geraden 21 schneiden. 
Ordnet man jeder Halbebene E von 91 eine Halbebene E' von 21 so 
zu, daß der Winkel EE' dem Winkel der Ebenen {©2t}, {@'91} 
gleich ist, und jeder Halbgeraden $ von E eine Halbgerade &' von 
E, so daß der Winkel $21 dem Winkel $'2t gleich ist, und jedem 
Punkte P von $ einen Punkt P' von $', so daß A 3 P = A 3 P' ist, 
so wird dadurch eine Kongruenz bestimmt, in welcher ©, resp. 
©', !$' entsprechen. Aus dieser Kongruenz erhält man eine zweite 
solche durch Spiegelung an der Ebene {©'£)'}. Von dieser Spiege 
lung abgesehen ist diese Kongruenz also eine Drehung um die Ge 
rade 9t als Achse. Sind 
j d - 0^2 ¿Cg = 0 
a x x 0 — a 12 x 2 = 0 
a 2 x Q + a 12 x x = 0 
die Gleichungen dieser Geraden, so wird jede Drehung um 2t durch 
eine Transformation dieser Form: 
^oVo d~ ^ 1V1 d~ ^2tttjX 2 
— «12/0 + a oIh •+ a n y 2 = «1^0 + Vi — «12^2 
— a 2 y 0 - a 12 y 1 + a 0 y 2 = - a 3 y 0 — a n y ± + a 0 y 2