Geordnete Mengen. 29—34. 
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je zwei verschiedene Dinge der Menge eine dieselben enthaltende linear 
geordnete Teilmenge, zweitens durch je drei, nicht einer linear geordneten 
Teilmenge angehörende Dinge b, c, d der Menge eine dieselben enthaltende 
planar geordnete Teilmenge (J>, c, d) 4= (b, d, c)*) eindeutig bestimmt 
wird, und wenn drittens zwischen jeder planaren Teilmenge (b, c, d) 
und jedem ihr nicht angehörenden Ding a der Menge eine und 
nur eine der beiden Ordnungsbeziehungen: 
a „über“ (b, c, d) oder a „unter“ (b, c, d) 
und für diese der Grundsatz (32) besteht: 
32. Grundsatz: Aus x über (a,b,c), nicht über (b, c, d), nicht 
unter (c, d, a), nicht über (d, a, b) folgt: 
a unter (b, c, d), b über (c, d, a), c unter (d, a, b), d über (a, b, c). 
Ebenso bei Vertauschung von „unter“ mit „über“. 
33. Satz: Aus a unter (b,c,d) folgt a unter (c,d,b), b über 
(c,d,a), a über (cl,c, &); ebenso bei Vertauschung von „unter“ und 
„über“. 
Beweis: Sei (bcd) = (cde) = (deb) = (ebc) (s. 24); wäre a unter 
(b, c, d) nicht unter (c, d, e), nicht über (d, e, b) nicht unter (e, b, c), 
dann wäre (32): e unter (b, c, d) gegen 31. 
Aus 32 folgt für x = d (z. B.), daß aus 
d über (a,b,c) folgt a unter (b,c,d), b über (c,d,a), c unter (d, a, b). 
Demnach folgt aus a unter (b, c, d) der Reihe nach: 
b über (c, d, a), über (d, a, c), d unter (a, c, b), 
a über (c, b, d), über (d, c, b). 
34. Definition: Ist d über (a, b, c), x nicht unter (a, b, c), nicht 
über (b,c,d), nicht unter (c,d,a), nicht über (d,a,b), so heißt x 
„zwischen“ a, b, c, d oder zwischen a, b, d, c- und zwar „uneigentlich“, 
wenn x auf («, b, c), oder (b, c, d), oder (e, d, a), oder (d, a, b), sonst 
„eigentlich“. 
Folgerungen: 1) Ist x zwischen a,b,c,d und e (nicht auf (a,b,x)) 
zwischen c, d, so ist entweder x zwischen a, b, c, e oder zwischen 
a, b, e, d. Dies ist evident, wenn x uneigentlich zwischen a, b, c, d, mit 
Rücksicht auf 23 Folg. 1. Sei also z. B. x unter (a, b, c), über 
(b, c, d), unter (c, d, a), über (d, a, b) und erstens x unter (a, b, e), so 
folgt: x unter (a,b,e), über (b, e, d) = (b, c, d), unter (e, d, a) (c, d, a), 
') Ygl. Anmerkung *) zu 20.