284 
Y. Metrische Geometrie. 
(I — & 
ist. Demnach repräsentiert im Falle £ 2 = — 1 jede Biquaternion 
a -j- eb, im Falle s 2 = -f- 1 jede außer den singulären «(l+g) eine 
Bewegung. 
95. Im Falle j' 2 = -f- 1 sind stets uneigentliche Elemente vor 
handen, unabhängig davon, ob Meßbarkeit besteht oder nicht. Be 
steht Meßbarkeit, so ist also die Dreieckswinkelsumme kleiner als 
zwei Rechte. Besteht nicht Meßbarkeit, so beschränke man sich zu 
nächst auf ein Teilgebiet, in dem Meßbarkeit besteht; in diesem ist 
die Dreieckswinkelsumme kleiner als zwei Rechte, folglich auch all 
gemein. 
Im «Falle j 2 =—1 liefert z. B. die Quaternion 
die Kongruenz y Q -|- i t y x = (cos« -f- i x sin«) (# 0 -f i x x x ), (y 3 = x 3 = 1) 
auf der Geraden x 2 = 0, x 3 = 1. 
Setzt man Xx == tg£, (0 < | < n) und nennt £ das Argument 
x n 
des Punktes (x 0 , x x , 0, 1), so entspricht dem Anträgen einer Strecke 
an einen Punkt £ die Vermehrung des Arguments £ um eine Größe 
«; denn es wird: 
Vo + h Vi = V%o 2 + x \ ( cos (I + «) + h sin (S + «))• 
Besteht also Meßbarkeit, d. h. existiert hei gegebenem |, « stets 
eine ganze Zahl Je so, daß lecc > | ist, so existiert auf der Geraden 
x 2 = 0, x 3 = 1, also überhaupt, kein uneigentlicher Punkt, da alle 
Punkte Argumente < jr haben, also durch Abträgen einer Strecke 
mit irgend einem Argument « stets erreicht werden können. Infolge 
dessen ist in diesem Falle stets die Winkelsumme größer als zwei 
Rechte. 
Koordinaten, Euklidisch. 
96. Im folgenden wird die Winkelsumme des Dreiecks gleich zwei 
Rechten vorausgesetzt. Parallel (||) sind zwei Gerade einer Ebene, 
die auf einer dritten senkrecht (_L) stehen. Durch einen Punkt gibt 
es zu einer Geraden ($ zwar genau eine Parallele, aber eventuell, 
nämlich wenn keine Meßbarkeit besteht, mehrere die Gerade @ nicht 
schneidende Gerade derselben Ebene. Alle Parallele einer Geraden 
gehen durch denselben Punkt, den Grenzpunkt der Geraden; derselbe 
ist Grenzpunkt auf jeder durch ihn gehenden Geraden. Die Gesamt