Art. 95—100. 
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heit der Grenzp unkte im Raume verhält sieh wie eine Ebene, in der 
Ebene wie eine Gerade. 
97. Definition: Ein Paar Strecken a, b heißt ein „Verhältnis“ 
* 5 Verhältnisse gleicher Strecken heißen gleich. Demnach kann jedes 
Verhältnis ” durch drei Punkte (OAB) einer Geraden repräsen 
tiert werden, wo OA = a, OB = b, 0 nicht zwischen AB ist. Ist 
OA x — OA auf derselben Geraden, also 0 zwischen A 1} B, so heißt 
das Verhältnis (OA x B) das negative des Verhältnisses (OAB); 
(OA x B) =—(OAB). Zwei Verhältnisse heißen gleich, wenn sie 
resp. gleich (OAB) und (OA B') sind und [AA] | [BB'] ist. Die 
zwei Definitionen für Gleichheit von Verhältnissen sind zulässig, denn 
es besteht der Satz*): 
98. Satz: Sind zwei Verhältnisse einem dritten gleich, so sind 
sie unter sich gleich. 
Beweis: Ist (OAB) = (OA'B'), (OA'B') = (OÄ'B''), so ist 
entweder A — A, B = B', also (OAB) — (OA'B"]. Oder es ist 
[AA'] [BB], oder es ist OA = OA', OB = OBsind dann M, 
N die Mittelpunkte von AA", B'B", so sind [AA']A[MN]A[BB'], 
also auch [AA'] |j [BB']', also nach dem Desarguesschen Satze auch 
[AA") |! [BB"], d. h. (OAB) = (OA"B"). 
Trägt man alle Verhältnisse an einen andern Punkt 0' statt 0 
an, so folgt der Satz aus der Kongruenz der Figuren bei 0 und 
bei 0'. 
99. Satz: Ein gegebenes Verhältnis ist immer einem Verhält 
nis (OAB) mit gegebenen 0, A oder mit gegebenen 0, B gleich 
und der Punkt B resp. A dadurch eindeutig bestimmt. 
Beweis: Das Verhältnis sei gleich (OA’B') und [B'B] || | A'A], 
B auf [OA]-, also (OAB) = (OA'B'). B ist eindeutig bestimmt; 
denn wäre (OAB) = (OABJ, so müßte wegen OA = 0A t auch 
OB = OB i} B = B i sein. 
100. Definition: Die Summe zweier Verhältnisse wird definiert 
durch 
*) Die folgende Theorie der Verhältnisse enthält die Euklidische Propor 
tionenlehre (Euclidis Elementa ed. Heiberg, lib. V) in sich, die also hier ohne 
Voraussetzung der Meßbarkeit begründet wird. Derartige Begründungen finden 
sich neuerdings bei Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Kap. III, Kneser, 
Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft, Dez. 1901 p. 4 im 
Archiv der Math, und Phys. (3) 2 (1902), Mollerup, Math. Ann. 5(5 (1903) p. 277 
und Studier over den plane geometrics aksiomer (Kopenhagen 1903), Schur, Math. 
Ann. 57 (1903) p. 205; vgl. auch Kupffer, Sitzungsber. der Naturforscherges. zu 
Dorpat 1893; lvneser, Math. Ann. 58 (1904) p. 583.