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Art. 101—107. 287 
Beweis: Es ist 
((OAB)+(OA'B))(OBO=(OÄ / B)(OBO±=(OÄ'C)={OAC)-{-(OA'C) 
= (OAB) (OBC) + (OA'B) (OBC). 
104. Def inition: Zwei Figuren heißen ähnlich (~), wenn sie 
in allen homogenen Winkeln und Verhältnissen übereinstimmen; z. B. 
sind kongruente Figuren ähnlich. Sind zwei Figuren einer dritten 
ähnlich, dann sind sie einander ähnlich. 
105. Satz: Es gibt zu jeder Figur OABC. . . eine ähnliche 
Figur OÄB'C' . . ., wenn Ä gegeben, und [OM] = [0A'\, [OH] = 
\0B'], . . . usw. 
Beweis: Man bestimme B', C, . . . aus 
(OAÄ) = (OBB') = (C)CC') = ■■■ 
dann sind auch die Verhältnisse den entsprechenden gleich, da 
ob' stets OB ~ OB' folgt ‘ 
aus 
OA 
OA' 
AB 
Dann sind auch die Ver- 
C' 
hältnisse den entsprechenden 
gleich; denn es ist (s. Fig.) 
AB _ B°B' _ OA__OD _ CD 
AB' ~ AAS' ~ OA ~ (JJJ' — C'D' ’ 
also AB _ AB' 
CD ' C 1)' ‘ 
Dann sind auch alle homologen 
Winkel gleich, denn es ist z. B. 
L ABC = ABO + OBC = A'B'O 
+ OB'C' = A'B'C'. 
106. Satz: Stimmen zwei Drei 
ecke in zwei Winkeln überein, so sind sie ähnlich. 
Beweis: Wegen der Gleichheit der Winkelsumme stimmen sie 
auch in den dritten Winkeln überein. Ist ABC das eine Dreieck 
und AB' auf AB, AC' auf AC den homologen Seiten des andern 
gleich, so ist AB'C' dem zweiten kongruent. Also nach Voraus 
setzung LAB C' = ABC, also [HC]||[B'C ], also = a ^ s0 
(104) ABC ~ AB'C'. 
107. Satz: ist im Dreieck ABC (s. die erste Fig. S. 288) [MM X ] 
_L[HC], [HHJ _L [MC], so ist AA.C^BB.C, also ^ =^‘ 
Beweis aus 104, da Winkel ACA i = BCB l , AA X C — BB^C 
= einem Rechten ist.