290 V. Metrische Geometrie.
zusetzen aus einer Schiebung und einer Drehung und eventuell einer
Spiegelung. Ordnet man dem Punkte (x 0 , x ± , x 2 ) den Vektor
X = Xq + x i i t + x 2 i 2
zu, so wird eine Schiebung durch eine Transformation y = x -f- u
repräsentiert, wo u = u 0 -f- u 1 i 1 -+- u 2 i 2 ein Vektor ist.
112. Durch die Transformation
y = axa~ x ,
in welcher
ci = cio + ci i i x + a 2 i 2 -f a i2 i x i 2
a = aq ci i i x ci 2 i 2 a i2 i x i 2
konjugierte Quaternionen, a 0 -, a 1} a 2 , a 12 Verhältnisse sind, wird eine
Drehung um denPunkt 0 repräsentiert. Denn gehen die Punkte P(x 0 x 1 x 2 ) >
P(x Q x x x^) dabei über in (y 0 yxy 2 ), (F0F1F2)? so bleibt das Quadrat
der Strecke PP, also diese selbst ungeändert; es wird nämlich:
(y~¥) (y ~y') = (axd~ x — axd~ v ) (dx a~ x — dx a~ x )
*= a (x — x) d ~ 1 • ci (x — x) er 1
= a(x — x) (x — x') a~ 1
= (x — x) (oc — x).
Daß jede Drehung um 0 durch y = axd~ x repräsentiert wird, be
weist man wie in 91. Die Quaternion a = a 0 -j- + a 2 i 2 + a 12 i 1 i 2f
Repräsentant der Drehung y = axa~ x , kommt nur bis auf einen
Verhältnisfaktor in Betracht; derselbe kann so gewählt werden,
daß a 0 2 -j- + a 2 + a 12 2 = 1 ist. Eine solche Quaternion heißt ein
Versor. Die Zusammensetzung der Quaternionen oder der Versoren,
also auch der Drehungen ist assoziativ, aber nicht kommutativ; die
Versoren oder Drehungen bilden eine Gruppe.
113. Eine Drehung, die zweimal angewandt die Identität ergibt,
heißt eine „Umwendung". In den zugehörigen Versoren ist o 0 = 0.
Eine Umwendung wird durch ihre „Umwendachse" 2t völlig reprä
sentiert. Die aus zwei Umwendungen um Achsen 21, 23 von 0 zu-
sammgesetzte Bewegung ist eine Drehung um 0. Die Achsen 2t, 23
gehen in Gerade 2t', 25' der Ebene {2123} über, die also die feste
Ebene dieser Drehung ist, und der Winkel 2(2T = 22123 = 2323 ist
mithin der Drehungswinkel. Diese Drehung kann als Quotient der
Umwendungen um 2t und 23, als ^ aufgefaßt werden. Zwei gegebene
Drehungen kann man als und ^ darstellen, indem man für 23 die
