Art. 116—119. 
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0.*) Ist eine Mutation ans einer Drehung ^ und einer Dehnung mit 
OA 
dem Verhältnis zusammengesetzt, so kann dieselbe als Vektoren- 
,. , OA auf 21 , , 
quotient Q-jß— u f repräsentiert werden. 
Das Produkt zweier Mutationen wird gebildet, indem man sie 
als ( ( yj t und <> ( l > (< darstellt, worin man für OB einen beliebigen Vektor 
der Scbnittgeraden ihrer festen Ebenen wählt. Dadurch sind die 
Vektoren OA, OG der Länge und Richtung nach bestimmt und das 
Produkt der Mutationen wird: 
OA OB _OA 
OB' 0C~ 00 
Die Multiplikation ist assoziativ, aber nicht kommutativ. 
Die Summe zweier Mutationen werde definiert, indem man die 
selben als -£4 darstellt. Ist dann OA" die Summe der Vek- 
U (J Jj 
toren OA, OA' (s. IV 56, S. 188), so wird die Summe der beiden 
Mutationen erklärt durch 
OA OA' _ OA" 
OB ' OB ~ OB' 
Die Addition der Mutationen ist assoziativ und kommutativ, da die 
der Vektoren es ist. Addition und Multiplikation der Mutationen 
sind distributiv, wie geometrisch nachzuweisen ist oder daraus folgt, 
das es für die Quaternionen gilt. Demnach bilden die Mutationen 
ein Zahlensystem. 
Entsprechend kann man auch bei beliebigen Ähnlichkeiten, aber 
nicht bei beliebigen Kongruenzen oder Bewegungen, Addition und Mul 
tiplikation definieren, so daß auch diese nicht nur eine Gruppe, sondern 
ein Zahlensystem bilden. (Man nehme in IV 88 statt der Tensoren t 
Vektoren-Quotienten.) 
Vollständigkeit und Widerspruchlosigkeit. 
119. Die Grundsätze der Verknüpfung, der Anordnung und der 
Kongruenz bilden mit jeder der drei Annahmen, die über die Existenz 
der uneigentlichen Elemente möglich sind, zusammen je ein wider 
spruchloses und vollständiges System von Grundsätzen, da sich die 
selben in widerspruchlosen und vollständigen Koordinaten-Geometrien 
verwirklicht finden. Eine Koordinaten-Geometrie im System der ge- 
*) Gauß, Werke Bd. VIII p. 357.