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Y. Metrische Geometrie. 
ist und die Eigenschaft I(PQ) = I(P) p I(Q) hat. Ein solches 
Inhaltsmaß ist für ein Tetraeder das Produkt aus dem Inhaltsmaß der 
Grundfläche und dem Inhaltsmaß der Höhe, d. h. dem Verhältnis der 
Höhe zur Einheitsstrecke, für ein Polyeder die Summe der Inhalts 
maße von Teiltetraedern, aus denen es besteht. Das Inhaltsmaß eines 
Tetraeders ist unabhängig davon, welche Seite desselben zur Grund 
fläche genommen wird, wie man durch Orthogonal-Projektion des 
Tetraeders auf eine zu einer Kante senkrechte Ebene und Anwendung 
von 106 erkennt. Das Rechnen mit solchen Inhaltsmaßen, Produkten 
von drei Streckenverhältnissen, erfolgt nach 96ff. Bei einer „trans 
versalen“ Zerlegung (d. h. durch Ebenen einer Kante) eines Tetraeders 
ist offenbar das Inhaltsmaß des Ganzen gleich der Summe der Inhalts 
maße der Teile. Eine beliebige Zerlegung eines Tetraeders in Teil 
tetraeder läßt sich auf transversale zurückführen*), also ist bei jeder 
Zerlegung eines Tetraeders das Inhaltsmaß gleich der Summe der In 
haltsmaße der Teiltetraeder. Schließlich gibt es bei zwei verschiedenen 
Zerlegungen eines Polyeders in Teiltetraeder stets eine dritte Zer 
legung, aus der beide durch verschiedenartige Zusammenfassung der 
Teiltetraeder hervorgehen. 
Ist also jetzt das Polyeder P größer als das Polyeder Q, also 
P = P', Q=Q', P'^Q' + R 
7(P) = 1(Q) + 7(P), 
7(P)>7(«. 
so ist auch 
also 
Ist P = Q, d. h. (Def. 2) weder P > Q, noch P < Q, so ist auch 
weder 7(P) > I(Q) noch 7(P) < T{Q), d. h. 7(P) = I(Q). Demnach 
sind z. B. Tetraeder mit gleicher Grundfläche und Höhe inhaltsgleich, 
und man kann jedes Polyeder in ein inhaltgleiches Tetraeder OABC 
mit drei rechten Winkeln bei 0 und zwei gegebenen Seiten OA, OB 
überführen. 
Um auch im Nicht-Euklidischen Fall das Inhaltsmaß anzugeben, 
würde es genügen, im Euklidischen Raume von vier Dimensionen das 
Inhaltsmaß eines „sphärischen“ Tetraeders auszurechnen und sich zu 
überzeugen, daß dasselbe bei einer transversalen Zerlegung der Summe 
der Inhaltsmaße der Teiltetraeder gleich ist.**) 
*) Vgl. Schatunovsky, Math. Ann. 57 (1903) p. 496. Veronese, Atti di 
R. Instituto Veneto. T. VI. VII. 1894, 1895. 
**) Über die Inhaltsbestimmung im Nicht-Euklidischen Fall vgl. F. Dann 
meyer, Die Oberflächen- und Volumenberechnung für den Lobatschefskischen 
Raum (Kiel, Doktor-Dissertation 1904). Hier ist auch p. 56, 57 die ältere 
Literatur dieses Problems zusammengestellt.