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I. Grundlagen der Arithmetik. 
Ans a + x — ft folgt x = (— d) -(- ft; denn es ist 
d ((— ct) -j- ft) = (ci -f- (— $)) -j- & — 0 -f- ft = 6. 
Aus y « == ft folgt y = & -)- (— a); denn es ist 
(ft -f - (— n)) -{-№ = &-)- ((— d) -j~ ft) = ft -j- 0 = ft. 
Es ist 0 = — 0, denn aus 0 + (— 0) = 0 = 0 + 0 folgt (— 0) == 0. 
50. Eine Gruppe kann „kommutativ“*) sein, d. h. es kann das 
„kommutative Gesetz“ gelten: 
Daß es selbst in einer nicktsingulären, assoziativen Gruppe nicht zu 
gelten braucht, beweisen die „Quaternionen“**) 
d + bi + cj + dij 
mit i 2 -(- 1 = j 2 1 = ij ji — 0, reellen Zahlen a, b, c, d und der 
Multiplikation als Komposition. 
In einer Gruppe können mehrere Arten der Komposition bestehen, 
z. B. im System der positiven ganzen Zahlen Addition, Multiplikation 
und Potenzieren. 
Geordnete Gruppen. 
51. Definition: Eine Gruppe heißt „geordnet“, wenn sie eine 
geordnete Menge ist, in der durch die Elemente (0, d) und (—d, 0) 
dieselbe lineare Teilmenge bestimmt wird und der „additive Anordnungs- 
Grundsatz“ (52) besteht. 
52. G rundsatz: Zwischen den Elementen a, b, c, d, . . . bestehen 
dieselben Ordnungsbeziehungen, wie zwischen den Elementen d + h, 
b -j- hj c + li, ... und wie zwischen den Elementen h + a, h-\- b, h + c, ... 
53. Folge rungen im linearen Fall: Aus d vor 0 folgt — d 
nach 0. Aus d vor b folgt d — b vor 0, b — d nach 0, — a nach — b. 
54. Satz: In einer linear geordneten Gruppe liegt d-\-b zwischen 
d -\- a und b -f- b. 
Beweis: Aus (z. B.) a vor b folgt: d + d vor a -j- b und d + 6’ 
vor b + b (nach 52). 
55. Satz: In einer linear geordneten Gruppe folgt aus d vor 0, 
b nicht nach 0, stets a -f- b vor 0. 
Beweis: a vor 0 gibt (52) a + b vor ft; also (10) d + ft vor 0. 
56. Satz: In einer linear geordneten Gruppe gibt es kein Ele 
ment x vor oder nach allen andern Elementen a, ft, c, . . . 
*) „Kommutativ“ von Servois (Gergonnes Ann. Bd. Y, 1814, S. 93) eingeführt. 
**) Hamilton, Lectures on Quaternions (Dublin 1853).