22 I. Grundlagen der Arithmetik. 
0 unter (%' -t-y, y, z), unter (x + y', y + z, /), 
ferner 
0unter (x,y,y + /), unter (x, x + y, y' + z'), unter (x + y, y + z, x), 
also (67) 
0 unter (oc -\-y, y' + z, z -f x), 
— (x -f y -f-z) unter (—/, —x, —y), unter (— x, — y, —s), 
x' + y' + z Über (x, y, z), 
x + y +- z — oa über (x — a, y — a, z — a), 
x + y + z — 2a über (x, y, z). 
69. Definition: Eine überplanar geordnete Gruppe heißt meß 
bar;, wenn der Grundsatz der Meßbarkeit (70) besteht. 
70. Grundsatz: Sind a, b, c, x vier beliebige Elemente und ist 
0 unter («, b, c), so ist x unter (a, b, c), oder unter (a -f a, b -j- b, 
c + c), oder unter (a + a -f a, b -f & -f b, c + c -j- c), usw. 
Zahlensysteme. 
71. Definition: Eine Gruppe heißt ein „Zahlensystem" und 
ihre Elemente heißen „Zahlen", wenn in ihr zwei Arten der Kom 
position bestehen und diese durch die „distributiven"*) Gesetze (72) 
verbunden sind. 
72. Bezeichnet man die eine Art der Komposition mit a -f- b, 
die andere mit ab, so ist 
a(b -\-c) = ab -f- ac, 
(a -f- b)c = ac -f- bc. 
73. Definitionen: Dann heißt die Komposition a-\- b „Addition" 
die Komposition ab „Multiplikation" und es sind in bekannter Weise 
die Worte Äugend, Addend, Summand, Summe, Subtrahend, Minuend, 
Differenz, Subtraktion, Multiplikator, Multiplikand, Faktor, Produkt 
zu erklären. 
74. Satz e: Für die Addition sollen stets die Gesetze 43 bis 48 
gelten. Aus dem ersten distributiven Gesetz folgt au + a- 0 = £i(a + 0) = 
aa = aa -f- 0, also a • 0 = 0. Aus dem zweiten distributiven Gesetz 
folgt ebenso 0 • a -f aa = (0 + a)a = aa = 0 + aa also 0 • a = 0. Aus 
der Geltung beider distributiven Gesetze folgt, daß die Addition kom 
mutativ ist: a-\-b = (—b+b)-\-(a + b) + (a--a)= — b + (b + a) + 
(&+ a)- « = -& +(& + a)(l + l)-a==-& + &(l + l) + a(l + l) 
*) Zuerst gebraucht von Servois (Gergomies Ann. Bd. V, 1814, S. ( J3). 
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