Geordnete Gruppen. 69—70. Zahlensysteme. 71—79. 
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_ a = — b 4- b + b + a + a — a = b -f a. Gilt nur ein distributives 
Gesetz, wie z. B. beim Multiplizieren und Potenzieren (ab) c = a c • b°, so 
braucht keine der beiden Kompositionen kommutativ zu sein. 
75. Das Zahlensystem kann „assoziativ“ sein, d. h. es kann 
das assoziative Gesetz der Multiplikation bestehen: 
A (cib)c = a(bc). 
Daß es nicht zu bestehen braucht, beweisen die Oktaven (45). 
76. Definition: Eine Zahl a heißt „singulär“, wenn für die 
selbe nicht das „binäre“ Gesetz der Multiplikation gilt: 
Aus ab = ab' folgt b = ?/, 
^ aus ba = b'a folgt b = b'. 
Demnach ist 0 eine singuläre Zahl. Ein Zahlensystem heißt singulär, 
wenn es noch andere singuläre Zahlen außer der Null enthält. In 
einem nichtsingulären Zahlensystem folgt aus ab = 0 entweder a = 0 
oder b = 0; während in einem singulären Systeme a(b — b') — 0 und 
a =f= 0, b — b' 4= 0 sein kann.*) 
Daß das binäre Gesetz der Multiplikation nicht für alle Zahlen 
=4= 0 zu bestehen braucht, beweisen die dualen Zahlen (s. 46). 
77. Definition: Mit 1 („Eins“) werden diejenigen nichtsin 
gulären Zahlen bezeichnet, für welche 
1-1 = 1 
ist. Solche Zahlen brauchen nicht vorhanden zu sein, wie das System 
2, 3, 4, . . . beweist; es sollen aber stets diese Zahlen auf Grund der 
obigen beiden definierenden Eigenschaften dem System hinzugefügt 
werden. 
78. Sätze: A (s. 75) vorausgesetzt, ist a • 1 = a. Denn aus 
(a • 1) • 1 =a (1-1) = a • 1 folgt a-l=a. Ebenso 1 -a = a.**) Ferner 
a • (— 1) = — a; denn aus a -f- (— a) = 0 = a ■ 0 = a (1 4- (— 1)) = a • 1 + 
a ■ (— 1) folgt — a = a •'(— 1). Ebenso — a = (—1) ■ a. Ferner: es 
gibt nur eine nichtsinguläre Zahl 1 definiert durch 1-1 = 1. Denn 
aus a • a = a = a • 1 folgt entweder a = 1 oder a singulär. 
79. Definitionen: Man setzt 14-1=2 (zwei), 2 -f 1 = 3 
(drei) usw. Die Zahlen ... — 3, — 2, — 1, 0, 4-1? +2, ... heißen 
die „ganzen“ Zahlen. Man setzt a, 1 = a, a k+1 =a k -a („Potenzen“ 
von a) usw. 
*) Singuläre Zahlen heißen bei Weierstraß „Teiler der Null“. 
**) Eine Zahl e dieser Art, daß stets ae = ea = a ist, heißt bei Stolz 
(s. Stolz und Gmeiner, Theoretische Arithmetik II, Leipzig 1902, p. 282) eine 
indifferente Zahl oder ein Modulus.