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I. Grundlagen der Arithmetik. 
80. Definit ion: Die Menge der positiven ganzen Zahlen und jede 
Menge, deren Dinge den positiven ganzen Zahlen eindeutig zuzuordnen 
sind, heißt „abzahlbar“*). Eine eigentliche Teilmenge aufeinander 
folgender ganzer Zahlen 1, 2, 3, . . ., h, und jede Menge, deren Dinge 
den Zahlen einer solchen Menge eindeutig zuzuordnen sind, heißt „end 
lich“. Abzahlbare und endliche Mengen sind linear geordnet. 
81. Definition: Durch die Gleichung: 
und die Forderung, daß das assoziative Gesetz 
(bc)d = b(cd) 
und die distributiven Gesetze (b -f- c)e = be -f ce, 
auch bestehen sollen, wenn b, c, d nicht alle von 
* • /' verschieden sind, wird eine zu a „reziproke“ 
82. Satz: Ist a singulär, so ist die reziproke 
Beweis: Es existiert b so, daß ab = 0 ist. 
Zahl * -j- leb, wo li ganz, eine Reziproke von a. 
e(b-{- c) = eb + ec 
1 oder /' • 1 oder 
a ' a 
Zahl definiert. 
a 
nicht eindeutig. 
u 
Demnach ist jede 
83. Satz: Ist a nichtsingulär, so ist die Reziproke 1 eindeutig 
bestimmt und genügt (außer A) den Gesetzen 
45, 46, 50, 72, B. 
Beweis: Sie ist eindeutig, denn ab = 1 = ab' gibt b = b\ 
Es ist ferner: a ^ a)j = (a ^ a = 1 • a = a • 1, also * a = 1. 
Für 1 gilt B, denn aus 
1 b = 1 b' folgt a ( 1 b) = a ( 1 b') d. h. b = b': 
a a ° \a / \a ) 
und aus 
b * = b' ~ folgt b aj = b' Q aj d. h. b = b'. 
Es gilt 72; denn es ist 
((& + c)i)a-(& + C )(* «)“0« “) + c G a )-K)“ + ( t ‘a)“ 
“( 6 a + C ») a > aIso: ( , ' + c ), 1 , = h 1 + c i’ 
*) Zuerst eingeführt von G. Cantor, Journ. f. Math. 77 (1873), S. 258.