Zahlensysteme. 86—92. 
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Zweitens seien x lind y zwei Lösungen, so folgt: 
0 = x 2 — 2ax — y 2 + ^ay = (x + y — 2a) (x — y) + (xy — yx), 
also wenn C gilt: 
(x-\-y — 2a)(x — y) = 0, 
also weil B gilt, entweder 
x — y — 0, y — x 
oder 
x 1 + ?/ — 2a = 0, y = 2x — x. 
91. D efinition: Im System der reellen Zahlen hat die Gleichung 
i 2 + 1 = 0 
keine Lösung, da für x > oder = oder < 0 stets x 2 -f 1 > 0 ist. Es 
soll aber dem System der reellen Zahlen eine Zahl i, die „imaginäre 
Einheit“, hinzugefügt werden, definiert erstens durch die Gleichung 
i 2 + 1 = 0, 
zweitens durch die Forderung, daß in dem erweiterten System, dem 
System der „imaginären*) Zahlen“, die distributiven Gesetze und das 
assoziative Gesetz (ab) c =■ a (bc), wo a, b, c reell oder gleich i sind, 
gelten sollen. Dann folgt nämlich, daß allgemein A und C gelten; ferner 
B daraus, daß (a -f bi) (c -f di) = 0 die Gleichung (a 2 + b 2 ) (c 2 + cl 2 ) = 0 
nach sich zieht. — Die Gleichung 
x 2 -j- 1 = 0 
hat dann (s. 90) nur die zwei Wurzeln + h ~~ 
92. Satz: In einem System mit A, B, ohne C haben lineare 
Gleichungen, z. B. axa -f- bxb' + cxc + d = 0 im allgemeinen unend 
lich viele Lösungen. 
Beweis: Es genügt, im System der Quaternionen eine Gleichung 
von der Form xa + bx + c = 0 mit beliebig vielen Lösungen herzu 
stellen. Man wähle für a und | beliebige, ganzzahlige Quaternionen, 
so daß dann b so, daß Z,a-\-b% = 0. Jetzt ist £ 2 a + b£, 2 =\= 0, 
denn aus t ) a J r bi, = 0, £ 3 a -f Z>| 3 = 0 würde für £ — a -f ßi yj -f- dij 
folgen: 
{t 2 — 2at,+ (a 2 -f ß 2 + y 2 + d 2 )} a + b {£ 2 — 2cc l + a 2 + ß 2 + ö 2 } — 0, 
also 
(«* + ß* + y 2 + d 2 ) (« + &) = 0, « = - b, 
= a|, gegen die Wahl von a und %. Setzt man 
| 2 a + bl 2 -F c = 0, 
*) Zuerst bei Descartes 1. c.