0 
-1 
1 + 2i 
1 + * + j — ij 
2 
1 + 2i 
1 + * + j — ij 
2 
0 
-1 
i a ß y ] (a ß'y \ 
112. Satz: Mit t , ,} ist { 1 zugleich eine Involution 
cc'ß'y'j \ccßy ° 
im allgemeinen dann und nur dann, wenn für a, ß, y, a, ß', y der 
Satz C gilt. 
Beweis: Gilt erstens C, so sind die definierenden Relationen für 
Gilt zweitens C nicht, so ist z. B. im Quaternionensystem 
r 
eine Involution, aber 
i—j 
nicht; denn die definierende Relation ergibt: 
ij =ji. 
113. Satz: Jede der sechs Zahlen einer Involution ist durch 
die fünf übrigen rational, also im allgemeinen eindeutig bestimmt. 
Beweis: Die definierende Relation 110 gibt z. B. für a die 
lineare Gleichung: 
(((ß — r) _1 + (ß'~ y')- 1 ) a — ((ß ~ y)“ 1 ß + iß'— /)~ V)) 
= (y(ß — y)“ 1 + ß' (ß'~ y 'r 1 ) a'+ y (ß — r) _1 ß + ß' (ß'~ y)~ l y- 
114. Satz: Die Harmonie (aßyö)=— 1 ist mit der Involution 
( a I,} identisch. 
(« — y) (ß-y)~ 1 (ß~ a ) = (« — ft ( d -ft -1 (d —«) 
ergibt: 
(ß«)“ 1 (iß — «) + (« — y)) (u—y)~ 1 = (tf—«)" 1 ((d — «) -f (a — ß)) (a — ß)' 1 
1 —1 — = 1 _|_ 1 
y ' ß — a « — ß d — a 
115. Satz: Zu fünf Zahlen kaun man die sechste involutorische 
durch Harmonien im allgemeinen dann und nur dann finden, wenn 
C gilt.