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I. Grundlagen der Arithmetik. 
G-rößensysteme. 
125. Definition: Ein geordnetes Zahlensystem heißt ein Größen 
system, wenn das „multiplikative Anordnungsaxiom“ 126 gilt. 
126. Grundsatz: Zwischen den Zahlen a,b,c,... bestehen die 
selben oder die entgegengesetzten Ordnungsbeziehungen, wie zwischen 
den Zahlen 
hak, hok, hck, . . ., 
wo h, k beliebige Zahlen =j= 0 des Systems sind. 
127. Satz: Aus 126 folgt B. 
Beweis: Ist a =j= 0, a =j= 0, so folgt aus (z. B.) (0, «,...)> 0 
nach 126: (0, aa, . . .) ^ 0, also aa 4= 0. 
128. Definition: Ein Zahlensystem, in welchem alle Ver 
knüpfungssätze gelten, heißt ein „gewöhnliches“ Zahlensystem. Gelten 
überdies die linearen Sätze der Anordnung 52, 126, so heißt das System 
ein „reelles“ Größensystem. Durch Hinzunahme der imaginären Ein 
heit i (mit i 2 -1- 1=0, s. 91) entsteht aus einem reellen ein „imaginäres“ 
Größen System. Dasselbe ist planar zu ordnen, indem man (a -f- a" i, 
1 1 1 
h' + h"i, c -f c'i) > 0 setzt, wenn 
V 
h" 
>0 ist. Dann sind 
offenbar die planaren Grundsätze 52, 126 erfüllt. 
129. Satz: Im Falle linearer Anordnung folgen 52 und 126 aus 
dem Satze: Zwischen a, h, c, . . . bestehen dieselben oder die entgegen 
gesetzten Ordnungsbeziehungen, wie zwischen a + h, h-\-h, c-\-h, . . . 
und wie zwischen ah, hh, ch, . . . 
Beweis: Aus a >• 0 < 1 folgt dann entweder: 
ah> 0 < h oder ah <i 0 > h, 
also aus: 
a > 0, h > 0 folgt ah > 0, 
und aus: 
a > 0, h < 0 folgt ah < 0. 
Aus a < 0 < 1 folgt entweder: 
ah < 0 < h oder ah> 0 > h, 
also aus: 
a < 0, h < 0 folgt ah > 0, 
und aus: 
a < 0, A > 0 folgt ah < 0. 
Es ist — 1 < 0-, denn wäre erstens: 
1 > - 1 > 0,