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I. Grundlagen der Arithmetik. 
und 126 gelten, setze man a>5, wenn a — &>0, und man setze a>0, 
wenn a 0 > 0 ist. Die Reziproken existieren nach der Festsetzung: 
l 
l + M Bl + \x^-\ 
1 — (& x x ni + \ % n ‘ l H—) + (&i x n ' + b 2 x n '- 4—) 2 . 
Daß D gilt und Stetigkeit stattfindet, ist offenbar; Meßbarkeit dagegen 
besteht nicht; denn kein ganzes Vielfaches von x ist größer als 1, weil 
stets 1 — kx > 0 ist. 
137. Satz: In einem linearen Größensystem ist D, also (134) 
auch C*) abhängig von der Meßbarkeit. 
Beweis folgt aus dem folgenden Satze 138. 
138. Satz: In einem linear geordneten Zahlensystem ist das 
Archimedische Axiom 58 gleichwertig dem Satze: Sind a, b zwei 
verschiedene Zahlen, so liegt zwischen ihnen eine rationale Zahl d. h. 
das Zahlensystem enthält das System der rationalen Zahlen relativ dicht. 
Beweis: Gilt dieser letztere Satz, so liege zwischen a und 0<a 
die rationale Zahl ~, zwischen x (> 0) und x + 1 die rationale Zahl 
jT~ • Dann folgt x < <1 h hk r < hka. 
Gilt umgekehrt das Archimedische Axiom, so existiert die ganze 
Zahl k so, daß k(x— a) > 1 ist, alsdann die ganze Zahl H so, daß 
//>/«;«> 0 ist, woraus durch Teilung des Intervalls 0 . . . H in die 
Teilintervalle 0 ... 1, 1 ... 2, . . ., (II— V) ... H die Existenz einer 
ganzen Zahl h folgt, so daß 
ist; dann folgt 
also 
h > ka > h — 1 
kx > ka -f 1 > h > ka, 
. h . 
x > ~k> a - 
139. Satz: C und D sind unabhängig von allen übrigen Grund 
sätzen der Verknüpfung, denen der planaren Anordnung und von der 
Stetigkeit. 
Beweis: Man betrachte dasselbe System von Funktionen wie in 
133, aber mit imaginären Koeffizienten a h = b h + ic h . Damit 52 und 126 
*) Die Abhängigkeit des Satzes C von der Meßbarkeit beweist auf anderem 
Wege Hilbert (Grundlagen der Geometrie § 32). Daß auch Satz A aus der 
Meßbarkeit folgt, zeigt Holder (Die Axiome der Quantität und die Lehre vom 
Maß. Leipz. Akad. Ber. math.-phys. Kl. 1901, p. 36). Das wesentliche obiger 
Deduktionen besteht darin, daß C nur von einem Teile der Meßbarkeit, näm 
lich nur von Satz D abhängt (134) und daß diese Abhängigkeit auch um 
gekehrt besteht. 
wo