46 I. .Grundlagen der Arithmetik. 
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(*, T *, t) > 
also 
gegen 21: denn — = — z, — = — t. 
141. Satz: In einem planaren Größensystem ist die Stetigkeit 
unabhängig von allen übrigen Sätzen einschließlich D und der Meß 
barkeit. 
Beweis: Das System der Zahlen a -f- bi, wo a, b rationale 
Zahlen sind. 
142. Satz: In einem planaren Größensystem ist die Meßbarkeit 
unabhängig von allen übrigen Sätzen einschließlich D und der 
Stetigkeit. 
Beweis: Das in 136 verwendete Größensystem, aber mit ima 
ginären Zahlenkoeffizienten, genügt allen Grundsätzen der Verknüpfung; 
ferner denen der planaren Anordnung, wenn man (abc) > 0 setzt, falls 
der Koeffizient des in x niedrigsten Gliedes des Faktors von % in -—— 
größer als 0 oder der in %—- kleiner als 0 ist. Meßbarkeit dagegen 
besteht nicht, denn es ist stets 
(x, 1c • 1, 1c • i) > 0 
für jede positive ganze Zahl 1c. 
143. Satz: In einem planaren Größensystem ist I) abhängig 
von der Meßbarkeit. 
Beweis folgt aus dem folgenden Satze 144.*) 
144. Satz: In einem planar geordneten Zahlensystem ist das Ar 
chimedische Axiom gleichwertig dem Satze: Sind n, b, c. drei nicht 
einem linear geordneten Teilsystem angehörende Zahlen, so liegt 
zwischen ihnen eine rationale imaginäre Zahl, d. h. das Zahlensystem 
enthält das System der rationalen imaginären Zahlen relativ dicht. 
Beweis ähnlich wie zu 138.*) 
*) Von diesen Sätzen wird später kein Gebrauch gemacht, weshalb die 
Beweise hier übergangen werden.