Größensysteme. 141—147. 
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145. Satz: Ein gewöhnliches imaginäres (d. h. i enthaltendes) 
Zahlensystem ist nicht linear zu ordnen. 
Beweis: Setzt man ¿>0 oder <0, so folgt durch Multipli 
kation mit i in beiden Fällen — 1 > 0, was unmöglich ist. 
146. Satz: Ein gewöhnliches imaginäres Zahlensystem ist nicht 
überplanar zu ordnen. 
Beweis: Es bestimmen 0,1, i ein planares Teilsystem, da sie 
(nach 145) keinem linearen Teilsystem angehören können. Da nicht 
alle Zahlen des Systems diesem planaren Teilsystem angehören sollen, 
sei a eine von den nicht dazu gehörigen. Dann bestimmen 0, 1, i, a 
ein überplanares (eigentliches oder uneigentliches) Teilsystem, in 
welchem z. B. 
je nachdem, ob i zu den Multiplikatoren gehört, welche die Ordnung 
erhalten oder zu denen, welche sie umkehren. Die nochmalige Mul 
tiplikation mit i ergibt in beiden Fällen 
(0, — 1, —i, —a)> 0 
gegen 65. 
147. Satz: In einem gewöhnlichen reellen Größensystem kann 
die Existenz der Quadratwurzeln aus positiven Größen ohne Benutzung 
der Meßbarkeit bewiesen werden. 
Beweis: Es sei a>0 (und < 1, da man sonst nehmen könnte*)); 
dann ist x 2 — a für alle nichtnegativen Größen x eines relativ dichten 
Teilsystems des Systems teils negativ (wie für x = 0), teils nicht- 
negativ (wie für x — 1). Man bezeiche mit x die ersteren Größen, 
für welche gc 2 — a < 0, mit x die letzteren, für welche x 2 — a 0, 
und definiere eine Größe x durch die Ungleichungen cc < x < x. 
Diese sind zulässig, da die aus ihnen folgenden cc < cc richtig 
sind. Denn aus x^_x würde 0 > x 2 — a^x 1 — a > 0 folgen. 
Die Bestimmung von x ist nach 18 eindeutig, da die Größen 
cc, x relativ dicht liegen. 
*) Nachdem für a<l die Existenz von ]/a nachgewiesen, kann für a> 1 
gesetzt werden, denn es ist in der Tat 
yi 
1 
a 
— a.