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T. Grundlagen der Arithmetik. 
Schließlich genügt x der Gleichung x 2 — a = 0. Denn wäre 
etwa x 2 — a < 0, so wähle man für <x die kleinere der beiden Zahlen 
— 1 oder 3, ferner 0 < | < — und gc = (1 + g)x, so wird erstens 
a 
x 2 ^ (1 + 2'i + g 2 )rr 2 < 
• x 2 , d. h. x 2 — a < 0 
x- 
und zweitens 
oc = (1 + |)a? > x, 
gegen die Bestimmung von x. Ebenso würde man x 2 — a > 0 wider 
legen, am einfachsten durch Zurückführung auf den eben erledigten Fall, 
vermittelst der Reziproken * , , usw. 
Zusatz: Quadratwurzeln aus negativen und aus imaginären 
Größen" werden durch die Formeln 
auf Quadratwurzeln aus reellen positiven Größen zurückgeführt. Rech 
nungsgesetze, wie ]/« • Yb = Yab sind durch Identitäten, wie 
148. Satz: In einem gewöhnlichen reellen Größensystem gibt 
es positive Größen x, für welche eine ganze Funktion 
ax n + a ± x n ~ 1 + • • • + a n 
mit reellen Koeffizienten und a n < 0 negativ wird. 
Beweis: Es sei A größer als jede der Größen + a, + a i} . . ., 
+ a n , ferner 
so folgt 
a x n + a x x n ~ 1 + • • • + a n < a n + A (x + x 2 H \- x n ) 
<ci n A Anx < 0. 
149. Satz: In einem gewöhnlichen reellen Größensystem gibt es 
sowohl Größen cc, für welche und unterhalb welcher eine ganze Funktion 
x n + a x x v ~ 1 A ■ ■ • + a n 
ungeraden Grades n, mit reellen Koeffizienten, negativ, als solche x, 
für welche und oberhalb welcher dieselbe Funktion positiv wird.