Größensysteme. 148—151.
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Beweis: Man wähle x < — nA (s. 148); ebenso sc > nA, dann
folgt:
sc n + a x x n ~ x + • • • + a n < x n + Ansc n ~ x d. h. < x n ~ i (x + nA) < 0
und
x n + a x sc n ~ 1 -j- • • • + a n > x n — Anx n ~ 1 d. h. > x n ~ x (x — nA) > 0.
150. Satz: In einem gewöhnlichen reellen Größensystem kann
die Existenz einer reellen Wurzel einer reellen Gleichung
f{x) = x n -f a t x n ~ 1 + a 2 x n ~ 2 +••• + «„ = 0
ungeraden Grades n ohne Voraussetzung der Meßbarkeit nachgewiesen
werden.
Beweis: Man bezeichne mit sc alle diejenigen Größen eines relativ
dichten Teilsystems des Systems, für welche
f{x) < 0 für x x
ist; und mit x alle übrigen Größen des relativ dichten Teilsystems des
Systems. Dann definiere man eine Größe x durch die Ungleichungen
X < X <1 X.
Diese Definition ist zulässig, da erstens sowohl Größen sc wie x
existieren (nach 149*)), und da zweitens stets gc < x ist, wie aus
der Definition der sc und x folgt. Die Definition von x ist (nach
18) eindeutig, da die Größen x, sc, relativ dicht liegen. Schließlich
ist fix) = 0; denn wäre etwa fix) < 0, so kann man nach 148
sc — x > 0 so bestimmen, daß
f{x) = fix) + ix — x)f\ + ix-xffj 4 b ix-x) n f n
negativ wird, gegen die Bestimmung von x.
151. Satz: In einem imaginären Zahlensystem kann die Existenz
einer Wurzel einer Gleichung
x n + a t x n ~ 1 4- • • • 4- « B = 0
ohne Voraussetzung der Meßbarkeit bewiesen werden.
Beweis: Es genügt zu diesem Zwecke, den zweiten Gaußschen
Wurzelexistenzbeweis**) auf den vorliegenden Fall nicht meßbarer
Größensysteme zu übertragen. In der Tat erfordert dieser Beweis
außer formalen algebraischen Operationen, welche von der Meßbarkeit
*) Die dort mit x bezeichneten Größen stimmen mit den liier mit x be-
zeichneten Größen überein; nicht dasselbe gilt für die x.
**) Gauß’ Werke Bd. III, p. 31. E. Netto, Die vier Gaußschen Beweise für
die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Faktoren ersten oder
zweiten Grades (Leipzig 1890) p. 37.
V a h 1 e n, Abstrakte Geometrie.
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