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I. Grundlagen der Arithmetik.
nicht berührt werden, nur noch die Existenz der Quadratwurzel (147)
und die Wurzelexistenz reeller Gleichungen ungeraden Grades (150).
Zusätze: Ist x 1 eine Wurzel von f{x), so ist
/laO-Zfo) = _
SY> /V» rp rf> '
iA/
eine ganze Funktion (n — l) ten Grades von x. Demnach zerfällt f(x)
in ein Produkt von n (gleichen oder verschiedenen) Linearfaktoren
(cc — xf) (x — x 2 )... (x — x n ), woraus mit Rücksicht auf R folgt, daß
fix) höchstens n Wurzeln hat.
152. Satz: Ein gewöhnliches, i enthaltendes Zahlensystem S ist
ein imaginäres Zahlensystem, d. h. es enthält keine andern Zahlen als
solche von der Form a -f- bi, wo a, b Größen eines reellen Systems
sind.*)
Beweis: Es bezeichne B das „vollständige“ reelle Teilsystem des
Systems S, d. h. dasjenige, welches durch Hinzunahme keiner weiteren
Zahl des Systems S vergrößert werden kann, ohne seine Eigenschaft
der linearen Anordnung zu verlieren. Ferner bezeichne J das aus
B durch Hinzunahme von i entstehende imaginäre Teilsystem des
Systems S. Angenommen, es enthielte S eine nicht in J enthaltene
Zahl x, so muß es sich als unmöglich herausstellen, die Zahl x in
das planar geordnete System J einzuordnen. Die Anordnungsbe
ziehungen in S lassen sich vermittelst 52, 126 auf die Form bringen
(0, 1, a + bi) > 0,
die unter sich widerspruchslos sind. Dasselbe gilt für die x enthalten
den Beziehungen, die auf die Form zu bringen sind:
(o, i, m) > o,
wo f{x) rationale Funktionen mit Koeffizienten aus J sind. Diese
sind unter sich widerspruchslos, andernfalls ein Widerspruch schon
zwischen denjenigen dieser Beziehungen bestehen müßte, welche für
x willkürlich festgesetzt sind, aus denen alle übrigen folgen. Dem
nach könnte ein Widerspruch nur zwischen einer der Beziehungen
(0, 1, a + bi) > 0
und einer der Beziehungen
(0, 1, fix)) > 0
*) Dieser Satz besagt mehr als der entsprechende von Weierstraß, da hier
nicht die Meßbarkeit und nicht die Darstellbarkeit der Zahlen durch eine end
liche Anzahl von Einheiten vorausgesetzt wird.
