Größensysteme. 152—155. 
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bestehen, was nicht anders möglich ist, als daß f(x) einen der Werte 
a-\-l)i hätte. Dann hätte aber x (nach 151) selbst die Form y-\-iz, 
wo y, z reelle d. h. dem System li einzuordnende Zahlen wären, gegen 
die Annahme. 
153. Demnach sind die Zahlen gewöhnlicher Systeme entweder reell, 
d. h. linear zu ordnen, oder von der Form a -j- bi, mit reellen a, b, also 
(nach 128) planar zu ordnen. Ein nicht reelles gewöhnliches Zahlen 
system braucht i nicht zu enthalten; z. B. ist das System « + &]/— 3, 
mit rationalen a, b, ein System dieser Art. Ist aber das vollständige 
reelle Teilsystem stetig, so enthält das System i selbst. 
154. Satz: Die sämtlichen Grundsätze der Verknüpfung, der 
Stetigkeit, der Meßbarkeit sind unter sich und mit den Grundsätzen 
der linearen bzw. planaren Anordnung nicht im Widerspruch. 
Beweis: Die Existenz des reellen bzw. imaginären Zahlensystems. 
155. Satz: Die Grundsätze der Verknüpfung, der Stetigkeit, der 
Meßbarkeit, der linearen bzw. planaren Anordnung bilden ein „voll 
ständiges“ System von Grundsätzen für das System der reellen bzw. 
der imaginären Zahlen, d. h. alle Eigenschaften dieser Systeme sind 
aus diesen Grundsätzen herzuleiten. 
Beweis: Gäbe es irgend eine weitere Grundeigenschaft E dieser 
Systeme, welche von den aufgestellten unabhängig wäre, so wäre die 
zu E entgegengesetzte Eigenschaft non -E mit den übrigen nicht 
in Widerspruch, d. h. es existierten Systeme, welche diese Grund 
eigenschaften in sich vereinigten. Dies ist nicht der Fall. Denn das 
System enthält zunächst die Zahlen 0, 1 resp. 0, 1, i, alsdann infolge 
der Verknüpfungssätze alle rationalen reellen resp. imaginären Zahlen, 
ferner infolge der Anordnung und Stetigkeit alle irrationalen reellen 
resp. imaginären Zahlen. Könnte man nun das reelle System durch 
eine Zahl x erweitern, die man > 0 annehmen, nämlich sonst durch 
— x ersetzen kann, so müßte, damit x von allen übrigen Zahlen des 
Systems verschieden wäre, entweder x größer als jede der andern Zahlen 
sein, entgegen der Meßbarkeit; oder es müßte x größer als jede Zahl 
< «, und kleiner als jede Zahl > a sein, für eine bestimmte Zahl a\ 
dann ist entweder, da x =\= a sein soll, » 
a < x < a -f . 
also entweder 
l 
x — a 
>k 
oder a —^ < x < a, 
oder > 
a — x ’ 
für jede ganze Zahl 7r, gegen die Meßbarkeit. 
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