Art. 6—17.
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Dieser Satz ist unabhängig von den vorhergehenden Grundsätzen
und Definitionen. Denn man bezeichne z. B. als „Punkte“ die Qua
drupel von vier teilerfremden ganzen Zahlen
(x, y, z, t), die nicht alle 0 und deren letzte,
t, gleich 0 oder 1 ist. Ein Quadrupel (lex,
ky, kz, kt) definiere für alle ganzen Zahlen
k =|=0 denselben Punkt. Als „Gerade“ der
„Punkte“ (x, y, z, t), {x, y, z, t') bezeichne
man die Gesamtheit der in (kx + k', x }
ky k'y, kz + k'z, kt -f- 1c t') für alle ganzen
Zahlen k, lc enthaltenen „Punkte“. Dann
bestehen offenbar die Grundsätze und Defi
nitionen 2, 4, 7, 8, 9, aber nicht 11, da z. B. die Punkte A = (0001),
£=(1101), (7= (1301), D = (3101), E = (2201), F=(1303) wie
in 11 liegen, aber F kein „Punkt“ in dem hier festgesetzten Sinne
ist (s. Fig.)
12. Satz: Es ist {ABC) = {ACB}.
Beweis: Ist D ein Punkt von [ABC], existiert also E, so daß
ABE=CDE=0 ist, so ist T) auch Punkt von [AGB], denn es
existiert (nach 11) ein Punkt 1' so, daß ACF = BDF = 0 ist.
13. Satz: In {ABC} sind alle Permutationen gestattet.
Beweis aus 10 und 12.
14. Satz: {ABC} enthält [AB].
Beweis: Ist I) ein Punkt von [AB], also ABD = 0, dann ist
ABE = CDE = 0 für E = D, also D ein Punkt von {ABC}.
Folgerung aus 4, 13, 14: {ABC} enthält |BC\, [AC], A,B,C.
15. Satz: Ist 1) ein Punkt von {ABC}, dann C von {ABI)}.
Beweis: Es existiert E so, daß ABE = CDE = 0 ist, also
auch so, daß ABE=BCE= 0 ist, d. h. C liegt in {ABI)}.
Folgerungen: 1) Es liegt auch B in {ACB}, A in {BCI)}.
Bezeichnet man diese Lage mit ABCI) = 0, so sind hierin also alle
Permutationen gestattet.
2) aus 14: wenn ABI) = 0, dann ABCI) = 0.
16. Satz: Sind I), E Punkte von {ABC}, dann A von {CDE}.
Beweis: Es existieren (9) F und 6r so, daß CDF= A BF= 0,
CEC = ABC = 0 ist. Also ist (7) [AG] = [AB], [CG] = [CE],
also DCI = ACF = 0, und (11) DAH = CCH = CEH= 0, d. h.
A Punkt von {CDE}.
17. Satz: Sind D, E, F drei Punkte von {ABC} und DEF^O,
dann ist jeder Punkt G von {ABC} Punkt von {DEI'}.
Beweis: Aus ABCD = ABCE = 0 folgt (16) AB DE = 0, aus
