Vandermonde. 
alsdann ergiebt sicli die weitere Umgestaltung aus den zu Artikel V 
gehörigen Tabellen. Ist also die gegebene Gleichung die folgende: 
und setzt man 
3 
G ' 
A" 
Mx B -f- Nx 2 + Px + Q — 0 
2 N 3 + 3 2 MNP - 3 8 M 2 Q 
_ j 3 M ]/—4 (N 2 P 2 ~ 2 2 MP 3 —2 2 A r3 Q-f-2 • 3 2 MNPQ—3 3 M 2 Q 2 ) 
so ist die Formel für die Auflösung: 
—I 
3 71/ I 
IGGJAG... 
AT +! 2 
- 1 - }/- 3 
— 1 +I /=_ 3 
Dies ist die bekannte und, wie die folgenden Bemerkungen zeigen werden, 
auch die einfachste Formel für die Wurzeln der Gleichung dritten Grades. 
XX. 
Aus dem allgemeinen Wertausdrücke, welcher sämtliche Gleichungs 
wurzeln darstellt, mufs es stets möglich sein, die einzelnen verschiedenen 
Gleichungswurzeln dadurch zu bilden, dafs man in dem allgemeinen Wert 
ausdrücke jede vorkommende Wurzelgröfse mit allen, von einander 
verschiedenen, Einheitwurzeln multiplicirt, welche denselben Wurzel- 
Exponenten, wie die Wurzelgröfse haben. Daraus folgt, dafs die allgemeine 
Formel für die Auflösung der Gleichungen dritten Grades nicht ausschliefslich 
Quadratwurzeln enthalten darf. Denn bei der Addition der Wurzelgröfsen 
mufs die Summe derjenigen Werte, welche die Gleichung auf mehrere Arten 
erfüllen, Null geben, es müssen also dritte Wurzeln darin Vorkommen. 
Ferner mufs jeder unter einem Wurzelzeichen befindliche Ausdruck 
verschwinden, sobald a — b = c wird. Denn alsdann mufs sich ohne irgend 
1 N 
welche Ambiguität x — —- (74) = ergeben. 
3 w 3 M 
Auch müssen a 6 , b ?> und c 3 denselben Coefficienten haben, da z. B. 
cP bei der Darstellung durch Typen dieselben Schwierigkeiten darbietet wie a. 
Da alle diese Bedingungen erfordern, dafs die Gröfsen unter den Wurzel 
zeichen die imaginären Zahlen, deren Kubus gleich 1 ist, enthalten, so 
sieht man, dafs es unmöglich ist, bei der Auflösung der Gleichungen dritten 
Grades den sogenannten irreductiblen Fall zu vermeiden.