Die Auflösung' der Gleichungen. 
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XXIY. 
Bevor wir zu den Gleichungen des fünften Grades übergehen, sind 
wir genötigt, eine neue abgekürzte Bezeichnung zu erklären, welche 
uns gestattet den Ausdrücken eine kürzere Form zu geben, und uns 
schneller zum Ziele führende Rechnungsverfahren, als diejenigen der Algebra, 
liefern wird. Diese Bezeichnung betrifft gewisse Gröfsen von systematischer 
Form, in welche sich die von uns Typen genannten Gröfsen zerlegen lassen 
und vermittelst deren sich der — unterschiedslos — eine jede beliebige 
Wurzel liefernde Functions - Ausdruck stets darstellen läfst. 
Jene abgekürzten Gröfsenausdrücke nenne ich Partialtypen. Es sind 
dies Gliederreihen, welche einen Teil einer solchen entwickelten T3 r pe aus- 
machen, und es besitzt eine derartige Reihe folgende Fundamental-Eigenschaft: 
wenn bei Vertauschung gewisser Buchstaben aus einem Gliede ein 
Glied derselben Reihe entsteht, so entstehen auch aus allen anderen Glie 
dern durch Vertauschung dieser Buchstaben nur Glieder, welche bereits in 
der betrachteten Reihe vorhanden sind, 
wenn indefs bei Vertauschung gewisser Buchstaben aus einem Gliede 
ein Glied entsteht, welches noch nicht unter den Gliedern der Reihe vor 
handen ist, so gilt dasselbe für jedes auf diese Weise gebildete Glied. 
Setze ich z. B. 
[a ßy] = a a feß C T-}-aIfe a cß + aß fei c a 
ii in i 
so heilst das: es stellt [a ß y] die Summe aller der verschiedenen Glieder 
ii ui i 
dar, die sich in folgender Weise bilden lassen: Man behalte stets die Buch 
staben a. b, c in der alphabetischen Reihenfolge bei, gebe im ersten Gliede 
diesen Buchstaben als Exponenten die Zahlen a, ¡3, y in derselben Reihen 
folge, wie sie hingeschrieben sind, und bilde darauf jedes Glied aus dem vorher 
gehenden, indem man die aufeinanderfolgenden Exponenten in der folgenden 
Ordnung entnimmt: der letzte, der erste, der zweite. Diese Aufeinander 
folge der Exponenten wird genügend durch diejenige der drei Charakteristiken 
IIIIII in dem Ausdrucke [a ß y] angedeutet. Auf diese Weise erhält man 
IIIII I 
in unserm Falle nur drei Glieder, da man bei einer weiteren Vertauschung 
immer wieder auf das erste zurückkommt. 
Ferner ist hiernach: 
[a y ß] = a a fei cß + aß fe a <A + aJ feß c a ;