Irrationale Grüfsen verschied. Ordn. nebst einer Anwend, auf den Kreis. 83 
Man kann nun diesen Exponenten als eine unbestimmte Zahl auffassen. Nimmt 
man ihn dann als gebrochen an, so hat man einen irrationalen Ausdruck. 
Die vorhergehende Festsetznng, die man bei einem Producte von einander 
nicht verschiedener Zahlen oder, was dasselbe ist, bei einem Producte von auf 
einanderfolgenden Gliedern einer Reihe, deren erste Differenzen 0 sind, ge 
troffen hatte, kann verallgemeinert werden. Man kann eine ähnliche Fest 
setzung treffen bezüglich der aufeinanderfolgenden Glieder einer Reihe, deren 
zweite Differenzen etwa gleich 0 sind. Man kann sich nämlich bei der 
Bezeichnung des Products einer Reihe von Zahlen, deren aufeinander 
folgende Differenzen von einander nicht verschieden und z. B. gleich 
1 sind, auch damit begnügen, einerseits die erste dieser Zahlen, andrerseits die 
Zahl hinzuschreiben, welche angiebt, wieviele solcher Factoren dieses Product 
enthält. Auch dieser letzteren Zahl könnte man den Namen „Exponent“ 
beilegen, und falls man dazu geführt würde, dieselbe als gebrochene Zahl 
anzunehmen, so würde man einen irrationalen Ausdruck von einer 
höheren Ordnung, als der vorhergehende erhalten. Dies ist es eben, 
was Herr Y an denn on de gemacht hat. 
Zunächst sucht er Gleichungen zwischen Zalilgröfsen, deren Wertform 
noch nicht bestimmt ist. Setzt er in diese Gleichungen für die Zahlgrösse 
bestimmte Zahlenwerte ein, so erhält er eine neue Art irrationaler Gröfsen, 
die verschiedene Verhältnisse darstellen; er erhält hierdurch die Reihen, 
deren Glieder solche irrationalen Gröfsen sind, und ferner solche, deren 
Summen sie darstellen. Fügte man diesem noch eine directe und allgemeine 
Methode zur Ausführung aller möglichen Reductionen bei, oder mit andern 
Worten, hätte man die Arithmetik dieser Gröfsen, so würde die Analysis 
aus ihnen unzweifelhaft einen gröfsen Nutzen zu ziehen im Stande sein. 
Die Schwierigkeit der Auffindung einer solchen Methode ist aber genügend 
dargetan, wenn man zeigt, wie Herr Vandermonde es tut, in welchem 
Zusammenhänge diese Gröfsen mit der Untersuchung des genauen Verhält 
nisses zwischen dem Umfange eines Kreises und seinem Durchmesser stehen. 
Diese Art von irrationalen Gröfsen liefert nämlich einen neuen und sehr’ 
einfachen Ausdruck dieses Verhältnisses. Durch diese Arbeit ist den Mathe 
matikern ein neuer Weg eröffnet, und Hr. Vandermonde wird jederzeit 
gerechten Anspruch auf die ruhmvollen Erfolge haben, die man in späterer 
Zeit dadurch erzielen wird.