IV. Abschnitt. 133 
die Zahl u entweder blos l, oder l von einem nachfolgenden Ket 
tenbruche begleitet sein muß. Jeder aus einigen ersten Theilnennern be 
stehende Näherungswerth eines Kettenbruchs drückt daher den Werth 
desselben genauer aus, als jeder andere Kettenbruch, der mit ihm 
gleichviel Theilnenner besitzt. 
Nimmt man in dem Kettenbruche N für u allmälig alle 
jene ganzen von Null verschiedenen Zahlen, die nicht größer 
als der gleichvielte Theilncnner p des Kettenbruchs K sind, 
nemlich die Zahlen i, 2, 3, . . . . (p—l), so liegt offenbar je 
der dieser Kcttenbrüche dem Kettenbruche K näher, als der Nähe 
rungsbruch M und auch näher als jeder seiner Vorgänger. Die so 
gebildeten Kcttenbrüche nennt man (zwischen zwei unmittelbar nach 
einander folgende Näherungsbrüche) eingeschaltete Brüche 
(fractions interiné diaires), von denen übrigens wegen ihrer äu 
ßerst seltenen Anwendung diese ganz kurze Andeutung genügen wird. 
§. no. 
Da die Näherungswerthe eines Kettenbruchs selbst wieder Ket 
tenbrüche sind, so könnten alle einzeln nach der in §. 108 ertheil 
ten Anleitung auf gewöhnliche Brüche zurückgelcitet, oder die redu- 
cirten Näherungswerthe des gegebenen Kettenbruchs ge 
sucht werden. Allein sowohl zur Vereinfachung als auch zur Prü 
fung der Rechnung wird es vortheilhafter sein, diese Näherungs 
werthe der Ordnung nach aus einander herzuleiten, wobei wir uns 
auf die Ergebnisse der im 5ten Artikel des §. 108 gepflogenen Unter 
suchung fußen werden. Sehen wir nemlich die dort betrachteten 
drei Kettenbrüche als unmittelbar auf einander folgende Näherungs 
werthe eines Kettenbruchs an, die auf gemeine Brüche reducirt 
MNP 
— , —— , geben, so kann man, wie m§. 108 gezeigt wurde, den 
3at)Ier io des reducirtenNäherungswerthes ^ bestimmen, indem 
Nenner P' P‘ 
man mit seinem letzten Theilnenner p den 1 _ r/ des nächst 
Nenner N 1 
. N 
vorhergehenden reducirten Näherungswerthes — multiplicirt, und