196 Viertes Hauptstück. 
Vorschein kommen, wenn man das zweite Glied mit dem Quoti 
enten multiplicirt (§. 3b); folglich muß das erste Glied des geo 
metrischen Verhältnisses aq, und das Verhältniß selbst aq: a sein, 
wenn man für das zweite Glied a, und für den Quotienten q 
annimmt. 
§. 174. 
Ein arithmetisches Verhältniß bleibt ungean 
der t, wenn m a n v o n beiden Gliedern Gleiches ab 
zieht, oder zu beiden Gleiches hinzu addirt. 
Denn wenn man in der allgemeinen Formel («H-tf)—a zu 
beiden Gliedern p hinzu addirt, so hat man (a+d+p) —■ 
(«+/?); oder wenn man von beiden p abzieht, so erhält man 
(«+^—/i) —(«—/>)> wo jedes wieder die nemliche Differenz d 
hat; und daher ist 
(a+d)—a= (a+d+p) — (a+p) = (a+d—p) — (a—p). 
Ein geometrisches Verhältniß bleibt ungeän- 
dert, wenn man das erste und zweite Glied mit ei 
lt e r und der n e m l i ch e n Zahl multiplicirt, oder auch 
beide durch dieselbe Zahl d i v i d i r t. 
Denn aus aq\a wird aqm:am durch die Multiplication mit m, 
und —durch die Division mit n; und ij! aq:a=aqm\am, 
n n 
wie auch «</:«=-:-, weil bei jedem dieser drei Verhältnisse der 
n n 
nemliche Quotient q Statt findet, und aus der Gleichheit der Quo 
tienten auch die Gleichheit der Verhältnisse sich ergibt (§. m). 
Es kann daher öfters ein geometrisches Verhältniß, dessen 
Glieder große Zahlen sind, viel einfacher dargestellt werden, wenn 
man beide Glieder durch eine und die nemliche Zahl dividirt. Durch 
die kleinsten Zahlen wird demnach ein Verhältniß dargestellt werden, 
wenn man sein^ beiden Glieder durch ihr größtes gemeinschaftliches 
Maß (§. 69/ g) dividirt. Z. B. statt des Verhältnisses 18:63 kann 
man schreiben 6:21, und am einfachsten 2:7. 
Eben so kann auch ein geometrisches Verhältniß, worin ein 
Glied gebrochen ist, oder auch beide Glieder Brüche sind, zum 
leichteren Uebcrblicke seiner Größe durch ganze Zahlen dargestellt 
werden, wenn man mit jedem Nenner, oder mit dem kleinsten ge-