Vorrede des Verfassers. 
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machen auch Anspruch auf grössre Gedankenschärfe, weil für uns in absolutem 
Sinn Nichts zu vernachlässigen ist nicht einmal das Unendlichkleine, wenn es 
zu dem Endlichen hinzugefügt wird und wenn Etwas im Vergleich mit Ande 
rem vernachlässigt wird, so muss dies aus einem mathematischen Grund und 
nicht der praktischen Annäherung wegen geschehen. Der Empirist kann uns 
nicht vorwerfen, wir behielten den praktischen Zweck der Wissenschaft nicht 
im Auge und unsre geometrischen Hypothesen wurzelten nicht in der Erfah 
rung und würden nicht durch geistige Thatsaehen bestätigt. *) 
Wir erkennen sehr gern die Hülfe, welche die empirische Beobachtung 
der Mathematik im Allgemeinen leistet, und die Nothwendigkeit an, die geome 
trischen Axiome durch sie festzustellen; wir können aber andrerseits nicht ver 
kennen, dass der Rohstoff, den uns die sinnlichen Eindrücke liefern, durch 
unsern Geist verarbeitet wird und dass das subjective Element in der reinen 
Mathematik, der Geometrie und der rationalen Mechanik den Vorrang vor dem 
objectiven Element hat und dass wir alle überdies die ersten idealen geome 
trischen Formen in uns besitzen, noch ehe wir mit dem Studium der Geometrie 
beginnen und ohne voraussetzen zu müssen, diese Formen seien eben die 
reellen Gegenstände mit ihren sämmtlichen Ungenauigkeiten. Es gibt nicht 
wenige empiristische Philosophen, welche die Ansicht vertreten, die geome 
trischen Formen seien ideale Formen oder doch wenigstens nicht die sinnlichen 
Eindrücke selbst, welche die Gegenstände in uns hervorrufen. 1 2 ) Sie sind ein 
Product der Anschauung mit der Abstraction combinirt. Cayley bemerkt 
Stuart Mül gegenüber treffend, wenn wir den Begriff der graden Linie nicht 
hätten, so könnten wir nicht behaupten, die Grade existire nicht in der Natur. 3 ) 
Was für eine mathematisch mögliche Hypothese, gilt, muss auch für den 
Beweis in der reinen Mathematik wie in der Geometrie gültig sein; er muss 
nämlich in allen, einfachen Theilen, aus welchen er besteht, vollständig 
durch die vorausgehenden Eigenschaften oder Eigenschaften, welche die un 
mittelbare und augenscheinliche Folge oder verschiedene Formen dieser Eigen 
schaften sind, bestimmt sein und es darf in der Kette der Eigenschaften, welche 
ihn zusammensetzen, kein Widerspruch vorhanden sein. 
Die Bedingungen, welchen die geometrischen Axiome und die Hypothesen 
unterworfen werden müssen, wenn man das wissenschaftliche Problem, welches 
uns vorliegt, in seiner ganzen Allgemeinheit und Einfachheit behandeln will, 
sind nach dem, was wir gesagt haben und später ausführen werden, die 
folgenden: 
I. Von den geometrischen Axiomen müssen die Wahrheiten, welche sich aus 
1) Siehe darüber den Anhang, in welchem wir das Buch von Pasch „Ueber neuere 
Geometrie. Leipzig, 1882“ einer Besprechung unterziehen. 
2) Siehe z. B. Masci, Erdmann, Baumann, Wundt a. a. 0. Loche z. B., welcher 
ein entschiedener Empirist ist, hält dafür, die Idee des reinen Raums sei von der Idee der 
Starrheit oder Festigkeit der Körper und diese von der Idee des Raums verschieden und 
die Theile des Raums seien unbeweglich (Baumann, a. a. 0. S. 377). 
3) Report of the 53 d meeting of the Brit. Ass. 1883. London, 1883. Ins Franzos, 
übersetzt in dem Bulletin des sciences mathématiques. Jan. und Febr. 1884.