XXXVI 
Vorrede des Verfassers. 
Weil wir ferner das Postulat über die Parallelen unabhängig von der 
Ebene nöthig haben, so haben wir in Anm. XVI eine neue Definition des Pa- 
rallelismus zweier Graden gegeben. 
Unsre Axiome drücken Eigenschaften aus, die auch in den Axiomen dei 
Elementarbücher über Geometrie gewöhnlich gegeben werden mit Ausnahme 
von Axiom IY und Y, welche durch bei weitem complicirtere Eigenschaften 
ersetzt werden. 
Wir haben uns in diesen Anmerkungen auf die Grade und die Ebene be 
schränkt vor Allem, weil man aus der Construction des Raums leicht sieht, 
wie man bei Modificationen zu verfahren hat. Jedenfalls kann man, ohne aus 
dem endlichen Gebiet herauszutreten, mit Yortheil die Ausdrücke: Unendlich 
ferner Punkt zweier Graden oder unendlich ferne Grade zweier Ebenen ge 
brauchen, um anzugeben, dass die Graden resp. Ebenen parallel sind. 
Wir hoffen diese Principien in einem besondern Elementarbuch über Geo 
metrie entwickeln zu können. 
Es könnte auf den ersten Blick scheinen, als ob ein Theil des Textes 
hätte weggelassen oder abgekürzt werden können. Das ist ja möglich; aber 
nicht nur finden Theorien, welche im Anfang überflüssig erscheinen, in der 
Folge ihre Anwendung, sondern, es geht auch aus unsrer vorhergehenden Er 
örterung der geometrischen Eigenschaften und Beweise hervor, dass bei diesen 
Argumenten Nichts übergangen werden darf und dass die Kürze, wenn sie die 
Unbestimmtheit der Begriffe zur Folge hat, ein schwerer Fehler ist. In einer 
einzigen Yerschweigung können Eigenschaften verborgen sein, deren Beweis 
eine gründliche Umänderung der Principien selbst erfordert. Solange man 
beim Beweisen von der Evidenz Gebrauch macht, hat man niemals die absolute 
Sicherheit, keinen Irrthum begangen zu haben. Es gibt zwei Mittel, um einen 
Fehler möglichst zu vermeiden. Je mehr die Untersuchung ins Einzelne geht, 
um so unbedeutender wird der begangene Fehler sein und mehr Formfragen 
als Wesentliches betreffen und je öfter man die streitigen Punkte überlegt, 
mit um so grösserer Sicherheit wird man einen Fehler vermeiden -können. 
Aus diesem Grund haben wir besonders in der Einleitung und in den 
beiden ersten Büchern des ersten Theils oder wo wir es für angebracht hiel 
ten, die Eigenschaften in so einfache Tlieile zerlegt, wie uns nur möglich ge 
wesen ist und haben in den Beweisen an sehr vielen Stellen die Eigenschaften 
angegeben, auf welche sie sich stützen; diese Angaben vermindern sich nach 
und nach bei weiterm Fortschreiten, weil es nicht nöthig ist den Hinweis auf 
eine Eigenschaft, von welcher man beständig Gebrauch gemacht hat, zu wieder 
holen. Auf diese Art treten auch die schwachen Punkte, wenn solche vor 
handen sind, mehr hervor und erlauben Andern sie zu corrigiren und jene 
Yollkommenheit zu erreichen, welche wir Alle im Interresse der Wissenschaft 
wünschen müssen. Man muss sich freilich auch hüten pedantisch zu werden 
und Dingen eine grosse Bedeutung beizulegen, welche sie nicht haben und 
darüber wichtigere Fragen aus dem Auge zu verlieren.