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§ 106] Proportionalitätszusammenhang zwischen den Segmenten. 189 
von (AB) zu (AC) bei diesem Vergleich (Def. IV, § 8) heisst das Verhältniss 
von 
(AB) zu (AC), welches mit dem Symbol bezeichnet wird. 
-Bern. 17. Wenn das Paar (Miß), (AC) gegeben ist, so ist durch dasselbe das Ver- 
hältniss von (AB) zu (AC) gegeben, das Verhältniss aber ist nicht das Paar selbst. 
n. Wenn die Paare (AB), (CD); (A'B'), (CD') in Proportion stehen, so 
sind ihre Verhältnisse gleich. 
Denn man erhält (AiB') aus (CD') durch dieselbe Operation, durch welche 
man (AB) aus (CD) erhält. Die Verhältnisse der beiden Paare sind mithin 
gleich (Def. VII, § 8 oder Def. IV, § 9), weil sie nur von dieser Operation allein 
abhängen (Def. III; Def. I, II, § 11). 
n'. Wenn die Paare (AB), (CD); (A'B'), (CD') in Proportion stehen, 
so ist 
AB) (A'B') , -p. n TTT 1 Q Q\ 
(CB) (C’B’)‘ v n ? Def. DI, ", § 'V 
Bern. III. Wir können hier das Zeichen = nicht setzen, weil es sich um eine relative 
Gleichheit zwischen den Paaren (AB), (CD)- (A'B'), (CD’) handelt, von denen wir noch 
andre Merkmale in Betracht ziehen (Def. I, §38; Bern. II). Das Verhältniss ist das Merk 
mal, in Bezug auf welches die Paare bei dem Proportionalitätszusammenhang verglichen 
werden (§ 9). 
n". Wenn 
(AB) (A’B') 
(CD) (C'D’)’ 
so stehen die Paare (AB), (CD); (A'B'), (C'D') in Proportion. 
Denn die Gleichheit der Verhältnisse ergibt nach Def. III die Gleichheit 
der Operationen, mittelst welcher man (AB) und (A'B') aus (AC) und (A'C') 
erhält und diese Operationen sind dieselben, wie in Def. I und Satz e. 
Die zwischen den Paaren (AB), (AC)] (A'B'), (A'C') bestehende Pro 
portion können und werden wir mit dem Symbo} 
(AB) ' (A'B') 
(AC) (A’C) 
bezeiclmen (n' und n").*) 
1) Eigentlich ist es für die Lehre von den Proportionen nicht nöthig, den Begriff des 
Verhältnisses einzuführen, das Paar Segmente genügt vollständig; überdies ist das Ver 
hältniss eine Beziehung zwischen (AB) und (AC) und nicht das Paar selbst, wohl aber 
ein Merkmal desselben. Das Verhältniss ist ferner unabhängig von dem Proportionalitäts 
zusammenhang, weil es nur von der speciellen Operation abhängt, durch welche man (AB) 
aus (AC) erhält. 
Das Verhältniss hängt nicht nur nicht von der relativen Position der Segmente (AB) 
und (AC) ab, sondern nicht einmal von den Segmenten einzeln genommen, weil Segmente, 
die (AB) und (AG) nicht gleich sind, dasselbe Verhältniss haben können (siehe auch 
Кар. VII, 2). 
Duclid definirt das Verhältniss (ratio) als eine Beziehung zweier Segmente (oder homo 
gener Grössen) hinsichtlich ihrer Quantität (Def. III, Buch V), er sagt aber nicht, was unter 
Quantität zu verstehen ist (siehe Anm. 2 zu § 38). Er definirt die Gleichheit zweier Ver 
hältnisse (Def. V, Buch V). Allerdings dient bei Duclid die Definition der Gleichheit dazu 
diejenige des Verhältnisses (ratio) zu vervollständigen und bedeutet, dass man das eine 
Verhältniss dem andern substituiren kann, wenn beide die in Def. V geforderten Eigen 
schaften besitzen. Weil aber das Verhältniss, wie gesagt, unabhängig von einem andern 
Verhältniss existirt, so muss es unsrer Meinung nach vollständig definirt werden, ehe man 
es mit andern Verhältnissen vergleicht. Viele Autoren definiren zuerst die Proportion zwischen 
vier Grössen, von welchen je zwei homogen und die eine Vielfaches der andern ist, und 
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