19 0 Proportionalitätszusammenhang zwisch. d. Segm. - Ausdehnung der Scalen. [§§ 106.107 
Bern. IV. Jedem Verhältnis ^ entspricht nach Def. III ein Zeichen (eine Zahl), 
welches die Operation angibt, mittelst welcher man (AB) aus (CD) «hält und welches die 
Gestalt des Symbols in Satz h', § 99 oder e', § 105, wenn (AB) < (CD) ist, hat. Ist da 
gegen (AB) )> (CD), so ist: 
(CD)g < (AB) < (CD) (fi + 1) (c\ § 81 oder c, § 105) 
und mithin: . 
(AB) = (CD)g + (C 1 D,), 
worin (C.D,) kleiner als (CD) ist, und durch (CD) und eines der obigen Symbole aus 
gedrückt wird. 
Def. IV. Dieses Zeichen oder diese Zahl heisst das Mass des Verhältnisses 
oder des im Proportionalitätszusammenhang stehenden Paares (AB), (AC). 
Bern. V. Ohne die Hypothese VH in Bezug auf die Ordnungen des Unendlichkleinen 
eines beliebigen Segments (§ 100) zu machen, wäre der Proporti'malitäb-Zusammenhang in 
absolutem Sinn nicht möglich. 
12. 
Ausdehnung der Scalen. Endliches Gebiet, unendlich grosse und unendlich 
kleine Gebiete in der Umgebung eines Elements der offenen oder geschlossenen 
Grundform in Bezug auf eine Einheit. 
§ 107. Bern. I. Die Sätze g, § 99 und c, § 104 erlauben uns bei dem Identitäts- 
verhältniss von der Richtung, in welcher die identischen Segmente durchlaufen werden, me 
sagen dann, das Verhältnis der ersten zur zweiten sei dem Verhältniss der dritten zur 
vierten gleich. Sie führen dabei das Verhältniss als eine Art sich auszudrücken ein — wir 
wissen nicht, wesshalh sie nicht „ungleich“ oder ein andres Wort benutzen statt sich des 
Zeichens — oder des Wortes „gleich“, welches einen logisch bestimmten Sinn hat (§§ 8—11), 
zu bedienen, — und machen überdies das Verhältniss von der Proportion abhängig. Van 
könnte nach unsrer Definition und den Sätzen i und i' auch sagen, das Paar .1 B . A( 
im Proportionalitätszusammenhang heisse Verhältniss und würde es so auch vom Proportio 
nalitätszusammenhang abhängig machen. Jedenfalls aber sind nach den Sätzen n, n', n" 
Verhältniss und Segmentenpaar, das im genannten Zusammenhang steht, gleichbedeutend« 
Ausdrücke (siehe Anm. zu § 117 und Anm. 2, § 121). 
Mittelst dieses Zusammenhangs können wir alle Eigenschaften der Verhältnisse der 
Segmente, wie wir es hier mit einigen getlian haben, wobei wir eigentlich nur die Def. I 
und den Satz b nöthig haben, entwickeln, um einen Satz zu beweisen, der den Grund 
eigenschaften der Ebene zur Basis dient. Man kann sagen 
wenn (AJJ) ic • 1 
weil man auf diese Weise die Verhältnisse den Segmenteu oder den Elementen der Grund 
form in der Art eindeutig und in derselben Ordnung entsprechen lässt, dass ein zwischen 
zwei gegebenen Elementen liegendes Element einem zwischen den zwei entsprechenden 
Verhältnissen liegenden Verhältniss entspricht. Handelt es sich um zwei \ erhältnisse 
(AB) (A’B') . , 
(AC) ' (A' C'j ’ S ° 1S ^ C ^ as ers ^ e grösser oder kleiner als das zweite, je nachdem es 
oder kleiner ist als das Verhältniss welches in dem durch AC) und (A'C) 
(A C) (A C ) 
gegebenen Zusammenhang entspricht, weil dieser Zusammenhang eindeutig und in derselben 
Ordnung stattfindet (d). 
Wir haben uns hier auf die Segmente einer oder mehrerer Grundformen beschränkt! 
man kann jedoch den Proportionalitätszusammenhang, weil er nur von der Construction 
abhängt, mittelst welcher die Segmente der Grundform aus (fiOi abgeleitet werden Def. I)i 
auch zwischen Paaren von beliebigen Grössen feststellen von denen sich die eine aus der 
andern auf die obengenannte Weise ableiten lässt