§§ 107. 108] 
Ausdehnung der Scalen. 
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wir es bisher nicht gethan, abzusehen. Bisher haben wir die Scalen verschiedener Einheiten 
von einem gegebenen Element als Grundanfang an in einer einzigen Richtung auf der offenen 
Grundform betrachtet (Bern. I, § 79 und Def. VII, § 92). Jetzt wollen wir sie auch in 
entgegengesetzter Richtung betrachten und da die Grundform in einer Richtung derselben 
Form in der entgegengesetzten Richtung identisch ist (a, § 70), so können ihre Elemente 
von A aus in einer Richtung mit denselben Zeichen versehen werden, wie diejenigen in 
der entgegengesetzten Richtung, indem man denselben Zeichen in den beiden Richtungen 
identische Segmente von A aus entsprechen lässt. 
Hat man ein in Bezug auf (AAf unendlich grosses Segment (AG), so ist, weil (CA) — 
(.AC) (c, § 104) auch (CA) unendlich gross von derselben Ordnung in Bezug auf (AA,). 
a. Wenn B' und B gegebene Elemente der unendlich grossen Gebiete der 
Ordnung g in entgegengesetzten Bichtungen (oder auf entgegengesetzter Seite) vom 
Anfang sind, so ist das Segment (B'B), welches den Anfang enthält, ebenfalls un 
endlich gross von derselben Ordnung. 
Ist (AB') nicht gleich (AB), so gibt es in .der Richtung von (AB) ein 
solches Element B i , dass 
{AB’) = (AB,) (a, § 70) 
ist. 
Da aber (ABf) unendlich gross von derselben Ordnung wie (AB) ist, so 
ist es mit (AB) endlich (c, § 91 und a, § 86) und mithin auch die Summe 
(AB') -j- (AB) (i, § 82); folglich ist diese Summe unendlich gross von der 
selben Ordnung (c, § 91; a, § 86). Es ist aber (AB') = (B'A) (g, § 99; c, 
§ 104); daher ist (B'A) -(- (AB) ~ (B'B) endlich mit (AB) oder unendlich 
gross von derselben Ordnung wie (AB) (c, § 91 und a, § 86). 
Bef. I. Die endlichen Gebiete in Bezug auf eine gegebene Einheit in den 
beiden Richtungen der Form von einem beliebigen gegebenen Element X der 
selben an (Def. V, § 83) bilden das endliche Gebiet in der Umgebung des Ele 
mentes X in Bezug auf die gegebene Einheit. 
Bef. II. Die unendlich grossen Gebiete einer gegebenen Ordnung g in 
einer oder der andern Richtung von A aus bilden dagegen das unendlich grosse 
Gebiet der Ordnung g in Bezug auf die gegebene Grundeinheit (Def. II und 
Bern. III, § 91). 
b. Wenn B und B' Grenzelemente einer gegebenen Ordnung g von einem 
Element A aus in der einen und der andern Iiichtung sind, so ist in Bezug auf 
die Grundeinheit 
(AB’) = (AB). 
Denn sie sind die durch die unendlich grossen Gebiete der Ordnung g — 1 
bestimmten Grenzen, welche identisch sind (Def. I, a", § 70 und Bern. III, § 86). 
§ 108. Bern. I. Wenn die Grundform geschlossen ist, kann man sie auch als eine 
offene Form betrachten (b, § 63). In diesem Fall wäre zwischen den beiden Arten der 
Grundform durchaus kein Unterschied, weil diese Form, wenn sie geschlossen ist, als offene 
Form betrachtet würde. 
a. Wenn ein Segment (AB) der geschlossenen Grundform gegeben ist, so ist 
dasselbe in Bezug auf die ganze Form entweder endlich oder unendlich Mein von 
bestimmter Ordnung g; es gibt desshalb in der Form keine in Bezug auf (AB) 
unendlich grossen Segmente von einer höheren Ordnung als g.