XXXIV 
Vorrede des Verfassers. 
was wir über die Gleichheit der Figuren, über die Unterscheidung identischer 
Figuren in congruente und symmetrische in jedem Raum von einer gegebenen 
Anzahl von Dimensionen und über die stetigen Systeme unveränderlicher Fi 
guren gesagt haben, geht klar hervor, dass wir von der Bewegung der Körper 
oder der starren Systeme bei. der Behandlung der Grundbegriffe keinen Ge 
brauch machen. 
Heute nach den berühmten Arbeiten von Helmholtz, welcher behauptet 
„von Congruenz könne keine Rede sein, wenn sich die starren Körper oder 
Punktsysteme nicht gegeneinander bewegen lassen“, erklärt ein Theil der Au 
toren dieses Anschauungsprincip für unentbehrlich zur Entwicklung der Geo 
metrie und macht ausdrücklich in den Elementarbüchern der Geometrie Gebrauch 
davon, während es nicht allein nicht unentbehrlich ist, sondern auch ohne 
Einbusse an der nöthigen Strenge nicht zur Verwendung kommen kann. Dieses 
Princip hängt vielmehr von den Eigenschaften des besonderen geometrischen 
Dings ab, in welchem nach der Voraussetzung die Bewegung vor sich geht: 
auf die Definition der Gleichheit der Figuren in einem Raum von n Dimen 
sionen (n i> 1) angewendet, schränkt es diesen Begriff auf die Congruenz allein 
ein und macht ihn* von den Dimensionen dieses Raums abhängig: ja es be 
schränkt auch die Congruenz, indem es sie von allen Merkmalen der An 
schauungslinien abhängen lässt; es setzt nicht nur in dem Raum die Existenz 
von Figuren voraus, welche jeder andern gegebenen Figur identisch sind, son 
dern sogar stetige Systeme unveränderlicher Figuren, während sich doch alle 
diese Eigenschaften aus der Construction des Raums ableiten lassen. Um er 
klärt zu werden, muss es sich selbst auf das Princip der Identität stützen. 
Es kann daher nicht dazu dienen das geometrische Continuum abstract zu 
definiren und ist, wie schon gesagt, nur für die praktischen Anwendungen 
nötliig. 
Mit diesem Allen wollen wir nicht sagen, dass man bei der Aufstellung 
der geometrischen Axiome nicht von der Bewegung, welche eine ursprüngliche 
Idee ist, Gebrauch machen solle, wie auch nicht, dass die Bewegung zur Bil 
dung der geometrischen Vorstellungen nicht nöthig sei; es ist dies ein psycho 
logisches Problem, welches uns nichts angeht; wohl aber behaupten wir, dass 
die Bewegung als nothwendiges Princip aus den Fundamenten der theoretischen 
Geometrie ausgeschlossen werden muss.*) 
Bisher haben wir immer von dem wissenschaftlichen Problem in seiner 
ganzen Allgemeinheit gesprochen. Die Erörterung der Grundbegriffe der Ma 
thematik kann aber die didaktische Seite der Frage, wie wir schon angedeutet 
haben, nicht ausser Acht lassen. 
1) Siehe darüber die §§ 9, 22 u. 23 des Buches I mit den bezüglichen Betrachtungen 
der Einleitung, die §§ 18, 19, 20 des Buches II des I. Theils und die entsprechenden Para 
graphen der andern Bücher. Weil wir in dieser Beziehung von Helmholtz wie auch von 
Newton. abweichen, nach welchem die Geometrie nur ein Theil der Mechanik ist (Phil, nat, 
Principia math. 2. Ausg. Cambridge. S. 273) und es sich um so angesehene Autoritäten 
handelt, so haben wir geglaubt noch andre Gründe zur Unterstützung unsrer These an 
geben zu sollen; es wird dies im Anhang geschehen.