14 
[§§ 32-33 
Begrenzte und unbegrenzte Reihe und geordnete Gruppe. 
Bern. Mittelst des Satzes § 18 wird die Reihe unabhängig топ dem Gedanken be 
trachtet, indem man nur berücksichtigt, ob ein Ding einem andern Ding voransteht und 
folgt, wenn es nicht das erste oder letzte ist. In diesem Fall ist es möglich, dass eine 
Reihe von gegebenen Dingen kein letztes Ding hat. 
Ist a das Zeichen eines beliebigen Dings der Reihe, а -\- 1 dasjenige des successiven 
und z. В. 1 das Zeichen des ersten Dings, so stellt das Symbol а -fl eine Reihe dar, 
welche kein letztes Ding hat. 
Wir können überdiess von den Beziehungen des Gedankens zu den wahrnehmbaren 
Dingen abstrahiren. Auf diese Art wird die Betrachtung einer unbegrenzten Reihe von 
Dingen ermöglicht und mittelst des Princips § 18 diejenige einer gegebenen unbegrenzten 
Reihe, auch wenn sie für die Verhältnisse eines Individuums nicht realisirbar ist. Denkt 
man sich, die Operation, durch welche mehrere Gegenstände einer nach dem andern bis 
zu einem Gegenstand В gesetzt werden, sei vollendet und der erste Gegenstand in dem 
Moment A gesetzt, so kann man auch sagen, man beziehe die so erhaltene Reihe von 
Dingen, die man als dem Gedanken gegeben ansieht (§ 18), auf den Moment- А, d. h. von 
der von A. bis В verflossenen Zeit absehen. 
So erklären sich die oft gebrauchten Ausdrücke: unbegrenzt, ins Unendliche oder ohne 
Ende fortfahren. 
§ 33. Def. I. Wenn die Dinge А, В, С, D, . . ., N, ... einer Reihe derart 
in einer neuen Ordnung betrachtet werden, dass die Dinge, welche einem ge 
gebenen Ding vorausgingen und folgten, in der neuen Ordnung ihm folgen be 
züglich vorausgehen, so heisst die neue Reihe und die neue Ordnung die um 
gekehrte oder entgegengesetzte zu der gegebenen Reihe und Ordnung. 
a. Die umgekehrte Reihe zu der umgekehrten einer gegebenen Reihe ist die 
gegebene Reihe selbst. 
Mit andern Worten: in der umgekehrten Ordnung der umgekehrten folgen 
sich die Dinge in derselben Ordnung wie in der ersten Reihe. Demi die Dinge, 
welche einem beliebigen Ding X in der gegebenen Reihe vorangehen und 
folgen, folgen ihm in der umgekehrten Ordnung (Def. I) bezüglich gehen ihm 
voraus und in der umgekehrten der umgekehrten Ordnung gehen sie ihm vor 
aus bezüglich folgen sie ihm (Def. I). 
b. Der letzte Gegenstand einer Reihe ist der erste Gegenstand der umge 
kehrten Reihe. 
Denn alle Dinge, welche einem Gegenstand in der ersten Reihe voran 
stehen, folgen ihm in der umgekehrten Ordnung (Def. I) und alle Dinge, welche 
dem letzten in der ersten vorangehen (§ 22), folgen ihm daher in der zweiten. 
Beisp. In cler Ordnung AB der Dinge AB ist A das erste und В das zweite, in 
‘der umgekehrten Ordnung В A ist В das erste und A das zweite Ding. 
b'. Wenn in einer Reihe ein Ding zwischen zwei andern enthalten ist, so 
ist es dieses auch in der umgekehrten Reihe. 
Denn wenn das Ding В in der gegebenen Reihe nach A und früher als 
G kommt, so folgen sich die gegebenen Dinge in der Ordnung ABC (§ 16) und 
in der umgekehrten Reihe ist C das erste und A das letzte, daher ist В wieder 
zwischen A und C enthalten. (Def., § 23.) 
b". Wenn eine Reihe keinen letzten Gegenstand hat, so hat die umgekehrte 
Reihe keinen ersten Gegenstand. 
Denn, wenn sie ihn hätte, so hätte die gegebene Reihe einen letzten Ge 
genstand (b).