§§ 193.194] Allgem. Configurationen u.s.w. — Die ersten Principien der analyt. Geometrie. 627 
aufzufinden. Projicirt man von diesen verschiedenen Lagen z. B. des Baums S n __ 3 aus 
auf eine Ebene S.,, welche S n g nicht trifft, so erhält man alle verlangten Configurationen. 
Wir können sofort sagen, dass, wenn man aus den n 1 Punkten der Grundpyra 
mide in S n n -f 1 Punkte der Graden, Ebene oder des Raums S., erhalten will, die pro- 
jicirenden Bäume keinen Punkt mit den Kanten dieser Pyramide gemein haben dürfen. 
Hätte z. B. der auf die Ebene S 2 projicirende Raum S n _ 3 einen Punkt mit der Kante 12 
gemein, so würde er mit dieser Kante einen Raum S n _ 2 bestimmen, welcher die Ebene S., 
in nur einem Punkte schneiden würde und man erhielte alsdann eine Configuration von 
n Punkten in ihm. 
Wir bemerken, dass man sich das Auffinden der Lagen der projicirenden Räume be 
züglich der Grundpyramide von S n dadurch erleichtern kann, dass man statt direct z. B. 
von einem S n _ s aus auf eine Ebene zu projiciren, successive von einem Punkt auf die 
immer um eine Dimension niedriger werdenden Räume projicirt, bis man schliesslich zur 
Ebene kommt. Man erhält so dasselbe Resultat. Alle Projectionspunkte bestimmen den 
Raum *S' n _ 3 . Auf diese Art ändert sich das Problem und man hat nicht mehr die speciellen 
Lagen des Raums S n _ 3 bezüglich der Pyramide von S n sondern die speciellen Lagen der 
Projectionscentren bezüglich der Pyramide und ihrer succesiven Projectionen zu bestimmen. 
Man hat dabei auch den Vortheil zugleich die besonderen Lagen aller der Räume kennen 
zu lernen, welche die Pyramide auf die Räume von niedrigeren Dimensionen als S und 
mithin auch auf S 3 projiciren. x ) 
Beigabe. 
Die ersten Principien der analytischen Geometrie von n Dimensionen. 
§ 194. Wie man von der gewöhnlichen Elementargeometrie ausgehend 
die analytische Geometrie der Ebene und des Raums von drei Dimensionen 
entwickelt, auf gleiche Weise kann man auch bei der analytischen Geometrie 
des Raums von n Dimensionen verfahren. Wir geben hier nur die ersten 
Principien an. 
Sind n unabhängige Grade in S n gegeben, welche durch einen Punkt 
(Anfang) gehen, so bestimmen sie ein CartesianiscJies Coordinatenaxensystem, 
welches rechtwinklig ist, wenn die Graden zu je zweien senkrecht aufeinander 
stehen. Dies letztere ist möglich (Satz VIII, § 168). Ein Punkt P 0 wird durch 
die n durch P () gehenden Segmente bestimmt, welche den Coordinatenaxen 
parallel sind und von dem Punkt P 0 an bis zu dem Durchschnittspunkt mit 
den Räumen von n — 1 Dimensionen (Coordinaten) gerechnet werden, die durch 
die übrigen Axen bestimmt werden (Satz II, § 158). 
Die Längen dieser Segmente heissen die Coordinaten des Punktes P 0 und 
werden mit x 1} x 2 , . . ., oc n bezeichnet. 
Mit Hülfe früherer Sätze findet man den Abstand zweier Punkte von den 
Coordinaten x { und x/ (i = 1, 2, . . ., n) in dem rechtwinkligen System leicht: 
Ö = ]/U (x¡ — x/y (1) 
1) Wir haben diese Methode bei der Untersuchung einer ausgedehnten Classe von 
Configurationen in S„ und S 3 in unsrer Abhandlung: Interprétations géom. de la théorie des 
substitutions de n lettres, Annali di Matemática, 1883, angewendet. 
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