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Die ersten Prineipien der analytischen Geometrie von n Dimensionen. 
[§ 194 
Wenn einer der Punkte in den Anfang fällt und man bezeichnet mit a 1; 
u. n . . ., a„ die Winkel, welche ein Strahl und daher auch der von dem Anfang 
aus zu dem gegebenen parallel gezogene Strahl mit den Axen macht (Bern. II, 
§ 169), so erhält man: 
(2) 
Die Transformationsformeln zum Uebergang von einem schiefwinkligen zu 
einem rechtwinkligen System mit demselben Anfang und umgekehrt sind 
(3) 
Damit lassen sich leicht die Beziehungen zwischen zwei beliebigen Carte- 
sianischen Systemen feststellen. 
Wählt man einen Raum, welcher einem der Coordinatenräume parallel ist 
z. B. (x., ... % n ) (Def. I, § 166), so genügen seine Punkte der Relation 
(4) 
und umgekehrt stellt eine solche Relation (Gleichung) einen Raum dar, welcher 
dem genannten Coordinatenraum parallel ist-. 
Mittelst einer Transformation von einem schiefwinkligen zu einem recht 
winkligen System, dessen eine Axe auf einem gegebenen Raum S n — 2 senkrecht 
steht, findet man bei Benutzung der Formeln (3) seine Gleichung bezüglich 
des schiefwinkligen Systems: 
(5) Xi cos Ui—p — 0. 
Es lässt sich mit den Transformationsformeln leicht beweisen, dass eine 
Gleichung ersten Grades zwischen den (variablen) Coordinaten einen Raum i 
darstellt. 
Sind n unabhängige Räume gegeben, so bietet sich das Problem, die Co 
ordinaten des Durchschnittspunkts der n Räume zu bestimmen. Sie sind die 
Auflösungen der n Lineargleichungen, welche die n gegebenen Räume darstellen. 
Führt man das Pliicker sehe System ein, so wird ein Raum durch n Coordi 
naten Ui bestimmt, d. li. durch die umgekehrten negativen Werthe der Seg 
mente, welche dei’ Raum S n —i auf den Coordinatenaxen vom Anfang aus be 
stimmt. Ein Raum S m in S n kann durch m -f- 1 Punkte oder m -j- 1 Räume 
S n — i, welche unabhängig sind, bestimmt sein (Zus. Satz 111, § 157 u. Satz II, 
§ 159) und wird analytisch in dem einen wie dem andern Fall durch m -j- 1 Linear 
gleichungen dargestellt, je nachdem die Variabelen Coordinaten von Punkten 
oder von Räumen von n — 1 Dimensionen sind. Eine Gleichung mit n Ver 
änderlichen hat somit eine doppelte geometrische Bedeutung. Auf dieser Ver 
schiedenheit beruht das Princip der Dualität. 
Wählt man eine Grundpyramide, so verstehen wir unter den Coordinaten 
eines Punktes Po, mit Bezug auf sie, n -j- 1 Grössen (Längen) X( derart, dass 
(6) QXi = pi ■ p i} 
worin g, willkürliche von Null verschiedene Constante und p, die normalen 
Abstände des Punktes von den Seiten der Pyramide sind.