§ 194.195] I He eisten 1 ìiucipien der analytischen Geometrie von n .Dimensionen. 629 
Ebenso genügen die Coordinateli eines Raums S n -.i (Bern. I, § 169) den 
Relationen 
am = li • q i} 
CO 
worin li beliebige von Null verschiedene Constante und q t die normalen Ab 
stände der Scheitel der Grundpyramide von dem gegebenen Raum sind. 
Hat man die Transformationsformeln zwischen dem Cartesianischen System 
und dem letzteren aufgestellt und eine passende Auswahl der Constanten in 
(6) und (7) getroffen, so findet man die Bedingung, unter welcher ein Punkt x { 
in einem Raum u t liegt, nämlich 
Sind m -f- 1 unabhängige Punkte von den Coordinaten (k = 1, 2, ..., 
m -f 1) gegeben, so lassen sich die Coordinaten eines jeden Punktes des von 
ihnen bestimmten Raumes S m in die Form bringen 
worin lk m -f- 1 Parameter sind. 
Hat man die Systeme festgestellt, auf welche man sich zu beziehen hat, 
so bestimmt man wie in der descriptiven Geometrie die Darstellungsmethoden 1 ) 
und wendet im weiteren Verlauf bald das eine bald das andre Coordinaten- 
system an je nach den Fragen, welche man behandeln will. Wir bemerken noch, 
dass man das Cartesianische System aus dem letzten System erhält, wenn eine 
der Seiten von n — 1 Dimensionen der Grundpyramide ins Unendlichgrosse fällt. 
Diese kurze Uebersicht genügt, den vollständig geometrischen Charakter 
unsrer Räume erkennen zu lassen. 2 ) 
§ 195. Die absolute Projedivität. 
Wenn auf der absoluten Graden (Hyp. I, § 18) vier Punkte gegeben sind, 
deren Abstände von dem Anfang durch die Zahlen £,, £ 2 , £ 3 , £ 4 dargestellt 
werden, so versteht man unter dem anharmonischen Verhältniss der vier Punkte 
die Doppelfunction 
Ist D und £,, | 2 , gegeben, so kann man i* 4 mittelst der eine endliche 
Anzahl mal angewendeten Grundoperationen berechnen und erhält: 
isVJi - 5.) + — 4) 
Für unsern Zweck genügt es diejenigen unendlich grossen und unendlich 
kleinen Zahlen zu betrachten, welche mit den endlichen Zahlen eine Gruppe 
bilden, die sich in dem Sinn des Satzes m, § 93 der Einleitung in sich selbst 
transformirt, wie wir bei den Segmenten in der Bern. I, § 16 vorausgesetzt 
haben. Uebrigens gelten dieselben Betrachtungen für die ganze von uns ge 
fundene Zahlenclasse. 
1) Siehe des Verfassers: Geom. descrittiva a quattro dimensioni Atti R. Istit. Veneto 1882. 
2) Siehe die Vorrede und Note I des Anhangs,