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Historisch-kiitische Untersuchungen über die Principien der Geometrie. 637 
Euclid sehe Geometrie als möglich anerkannte, und zerstörte trotz einer scharf 
sinnigen Untersuchung, die um so wirksamer war, als sie mit der Euclid’sehen 
Methode geführt wurde, mit eigenen Händen das von ihm aufgerichtete Gebäude, 
indem er sich bemühte den Nachweis der Falschheit seiner beiden neuen Hypo 
thesen zu bringen. 
Bei der ersten gelingt ihm dies eines Grundfehlers wegen leicht, der in 
seinen Betrachtungen über diese Hypothese enthalten ist und sich in Prop. III 
vorfindet, in welcher er beweist, dass wenn (AC) und (EE) auf der Graden 
AE in A und E senkrecht stehen und die Winkel bei C und E rechte, stumpfe 
oder spitze sind, (CE) ebensogross, kleiner oder grösser als (AE) ist. Bei 
dem Beweis des zweiten Falls, welcher der Hypothese des stumpfen Winkels 
entspricht, benutzt er Prop. XVI des ersten Buchs Euclid’s, dass ein Aussen- 
winkel des Dreiecks grösser als jeder der gegenüberliegenden Innenwinkel ist, 
welche grade die Hypothese des stumpfen Winkels ausschliesst. Bei dem Be 
weis der Falschheit dieser Hypothese (Prop. XIY) stützt er sich auf Prop. XYII 
des ersten Buchs Euclid's, dass die Summe zweier Winkel eines Dreiecks kleiner 
als zwei Rechte ist, welche von der oben erwähnten Prop. XYI abhängt. Er 
benutzt diese Prop. auch in den beiden andern Fällen, und nimmt damit seinen 
Ausführungen viel von ihrer Allgemeinheit, da diese Eigenschaft von der un 
endlich grossen Graden abhängt. 
Die Folgerungen aber, dass, wenn in nur einem Fall die Hypothese des 
stumpfen Winkels richtig ist, sie in jedem Fall gilt, dass, wenn in einem Drei 
eck die Summe der Winkel grösser als zwei Rechte ist, sie es in allen andern 
ist, sind mit einigen leicht zu entfernenden Mängeln bewiesen. Um so mehr 
bleiben die Eigenschaften bewiesen, welche sich auf die beiden andern Hypo 
thesen beziehen. 
Der Yerfasser hat von Anfang an das Axiom, dass eine Grade durch zwei 
ihrer Punkte bestimmt wird, keiner Prüfung unterzogen; indessen wenn damit 
die erste Eiemann’sche Form ausgeschlossen wird, so bleibt doch die zweite 
möglich. 
Der Beweis der Falschheit der Hypothese des spitzen Winkels gelingt 
Saccheri nicht so leicht wie bei dem stumpfen; bevor er aber zu diesem 
Beweis übergeht, stellt er Betrachtungen an, die einigen Ausführungen 
Lobcitscheivskijs sehr ähnlich sind. Der Fehler dieses Beweises liegt, wie 
Eeltrami bemerkt, hauptsächlich in Prop. XXXYII, in welcher Saccheri den 
fälschen Satz zu beweisen sucht, dass die Curve CE, der Ort der Endpunkte 
der Lothe von gegebener Länge, welche bei der Hypothese des spitzen Win 
kels auf dem gradlinigen Segment (AE) errichtet werden, der gegenüber 
liegenden Basis (AE) gleich sei, ein Satz, welcher die Hypothese des rechten 
Winkels in sich enthält. 
Aus diesem kurzen Bericht erhellt, dass, wenn Saccheri kein grosser Bahn 
brecher in der Wissenschaft der Geometrie gewesen ist, er doch ein würdiger 
Yorläufer Legendre’s, Lobatschewshy’s und Biemann’s war. 
Die Versuche, das Postulat V Euclid’s zu beweisen, dauerten fort; wir 
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